Lemme de Zorn - Définition

Utilisations

Le lemme de Zorn a un large éventail d'applications, qu'il n'est pas possible de lister exhaustivement. Il s'avère que beaucoup d'applications de versions « fortes » de l'axiome du choix utilisent des résultats de maximalité, qui se démontrent alors avec le lemme de Zorn. Le lemme n'est en général pas invoqué pour des résultats obtenus par des versions dénombrables de l'axiome du choix, comme l'axiome du choix dépendant, qui permet de construire par récurrence une suite (indexée par les entiers) avec un choix à chaque étape de récurrence. Ainsi l'existence d'un idéal maximal dans un anneau quelconque utilise le lemme de Zorn, mais pour un anneau noethérien on peut préférer donner une démonstration qui n'utilise que l'axiome du choix dépendant.

À noter que, restreint au cas particulier des anneaux de Boole le théorème de l'idéal maximal est plus faible que l'axiome du choix (alors que dans le cas général il est équivalent à l'axiome du choix et donc au lemme de Zorn). Il se démontre cependant naturellement par le lemme de Zorn, et lui même de nombreuses applications, à commencer par le théorème de l'ultrafiltre qui lui est directement équivalent par dualité.

Quelques utilisations en algèbre

L'algèbre est historiquement le premier domaine des mathématiques, hors la théorie des ensembles, où l'axiome du choix a été largement utilisé, malgré les controverses suscitées lors de sa publication par Zermelo en 1904.Beaucoup des applications de l'axiome du choix en algèbre sont liées à des résultats de maximalité, ce que réalisa Zorn au milieu des années 1930. Les quelques applications à l'algèbre qui suivent sont déjà mentionnées par Zorn dans son article (à quelques variations près), et étaient démontrées avant Zorn par le théorème de Zermelo.

• le théorème de la base incomplète, en particulier l'existence de bases pour tout espace vectoriel, se démontre facilement par le lemme de Zorn. Un base est un système de vecteurs libre maximal, et il suffit donc de remarquer que la réunion d'une famille croissante pour l'inclusion de systèmes libres est encore un système libre pour pouvoir appliquer le lemme de Zorn. Une conséquence de ce théorème est que dans tout corps K extension de k, l'existence d'une base d'éléments de K au-dessus de k. Georg Hamel avait démontré ce théorème en 1905 dans le cas particulier du corps des réels comme extension du corps des rationnels (et donc espace vectoriel sur les rationnels), mais sa démonstration (par le théorème de Zermelo) est générale.
• Le théorème de Krull (1929) est un autre exemple d'application très directe à l'algèbre que donne Zorn de son principe du maximum. Il s'agit de montrer que dans un anneau unitaire, tout idéal est inclus dans un idéal maximal (maximal au sens de l'inclusion parmi les idéaux différents de l'anneau tout entier), et il suffit de montrer qu'une réunion croissante d'idéaux est un idéal.
• L'existence, dans toute extension transcendante K d'un corps k, d'une base de transcendance (système maximal d'éléments transcendants algébriquement indépendants) de K au-dessus de k est un autre conséquence de l'axiome du choix (due à Ernst Steinitz en 1910) qui se démontre simplement par le lemme de Zorn.
• L'existence pour tout corps d'une clôture algébrique, et son unicité à isomorphisme près, résultats également dus à Steinitz en 1910, se démontrent aussi tous deux par le lemme de Zorn, comme celui-ci le montre dans son article.
• L'existence pour tout corps k de la clôture réelle de k, c'et-à-dire d'un corps réel clos maximal, extension de k et sous-corps de la clôture algébrique de k (résultat dû à Emil Artin et Otto Schreier en 1927).

Topologie et analyse fonctionnelle

• Théorème de Hahn-Banach
• Théorème de Tychonov (équivalent à l'axiome du choix et donc au lemme de Zorn)

Théorie des ensembles

Quelques résultats de théorie des ensembles apparaissent naturellement comme des résultats de maximalité et se démontrent facilement par le lemme de Zorn. C'est le cas :

• du théorème de Zermelo
• du théorème de comparabilité cardinale (étant donné deux ensembles A et B il existe une injection de A dans B ou une injection de B dans A).

(tous deux sont équivalents à l'axiome du choix, et donc au lemme de Zorn).