Matrice de Sylvester - Définition
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Introduction
En algèbre linéaire, la matrice de Sylvester de deux polynômes apporte des informations d'ordre arithmétique sur ces polynômes. Elle tient son nom de James Joseph Sylvester. Elle sert à la définition du résultant de deux polynômes.
Définition
Soient p et q deux polynômes non nuls, de degrés respectifs m et n.
La matrice de Sylvester associée à p et q est la matrice carrée
- la première ligne est formée des coefficients de p, suivis de 0
- la seconde ligne s'obtient à partir de la première par permutation circulaire vers la droite
- les (n-2) lignes suivantes s'obtiennent en répétant même opération
- la ligne (n+1) est formée des coefficients de q, suivis de 0
- les (m-1) lignes suivantes sont formées par des permutations circulaires
Ainsi dans le cas m=4 et n=3, la matrice obtenue est
Le déterminant de la matrice de p et q est appelé déterminant de Sylvester ou résultant de p et q.
Applications
L'équation de Bézout d'inconnues les polynômes x (de degré <n) et y (de degré <m)
peut être réécrite matriciellement
dans laquelle t désigne la transposée,
Ainsi le noyau de la matrice de Sylvester donne toutes les solutions de cette équation de Bézout avec degx < degq et degy < degp.
Le rang de la matrice de Sylvester est donc relié au degré du PGCD de p et q.
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Notamment, le résultant de p et q est nul si et seulement si p et q ont un facteur commun de degré supérieur ou égal à un.
