Matrice de Vandermonde - Définition
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Introduction
En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle tient son nom d'Alexandre-Théophile Vandermonde.
Présentation
De façon matricielle, elle se présente ainsi :
Autrement dit, pour tous i et j,
- Remarque.
- Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus.
Déterminant
Le déterminant d'une matrice
Cette forme factorisée est utilisée dans l'épreuve de Mathématiques de l'agrégation externe 2006, partie I.10.[1]
Démonstrations
Il suffit d'exécuter l'opération élémentaire Ci ←
Le déterminant reste inchangé puisque: detUi,j(λ) = 1 et devient :
En développant selon la première ligne, il vient tout naturellement :
C’est-à-dire :
Par récurrence immédiate, on retrouve le résultat annoncé
- Autre démonstration
Le déterminant
où
Cependant le degré en
Démontrons alors par récurrence que kn = 1 pour tout n.
Ceci est évidemment vrai pour n = 1 et 2. D'autre part, si cette affirmation est vraie jusque n − 1, calculons de 2 manières le coefficient du terme de plus haut degré (n-1) en an du déterminant
D'où il résulte bien que kn = 1.
Ceci achève la démonstration.
Inversibilité
On considère une matrice V de Vandermonde carrée (m = n). Elle est inversible si et seulement si les αi sont deux à deux distincts.
Démonstration
Si deux coefficients αi sont identiques, la matrice a deux lignes identiques, donc n'est pas inversible.
Pour la réciproque, on peut procéder au calcul du déterminant, ce qui sera fait dans le prochain paragraphe.
Une preuve d'inversibilité plus rapide est cependant de considérer V comme la matrice du système linéaire homogène VX=0 pour X de composantes x0, ... xn-1
Mais en introduisant le polynôme
On voit que si X vérifie l'équation VX=0, alors P admet n racines distinctes, soit plus que son degré. Donc P est nul, et ainsi X=0. Ce qui prouve que V est inversible.
