Matroïde - Définition

Introduction

La notion de matroïde (introduite en 1935 par Whitney) a pour vocation initiale de saisir l'essence du concept d'indépendance linéaire. Elle est donc naturellement liée à l'algèbre linéaire (déjà au niveau du vocabulaire: indépendant, base, rang), et aussi par ailleurs, essentiellement à la théorie des graphes (circuit, cycle), à l'algorithmique (glouton), et à la géométrie (pour diverses questions liées à la représentation).

Exemple : les matroïdes représentables

L'exemple le plus mathématiquement parlant de matroïde est donc un couple (S, I) où S correspond à l'ensemble des indices des colonnes d'une matrice sur un certain corps, et où I correspond à la collection des sous-ensembles d'indices correspondants aux vecteurs linéairement indépendants. De tels matroïdes sont dit représentables. Il existe des matroïdes qui ne sont pas représentables. Les matroïdes représentables en n'utilisant que le corps à deux éléments sont dit binaires. Tutte et Whitney ont donné des caractérisations de ces matroïdes. Les matroïdes représentables sur n'importe quel corps sont dit réguliers. Tutte les a caractérisés.

Le polytope des indépendants : polymatroïdes

A tout matroïde on peut associer son polytope des indépendants dans l'espace à | S | dimensions, qui est l'enveloppe convexe des vecteurs caractéristiques (dans {0,1} à la puissance S) de ses indépendants. Edmonds a montré que ce polytope peut être décrit par les inégalités linéaires de positivité et de rang. On appelle polymatroïde, tout polytope qui est le polytope des indépendants d'un matroïde.

Définitions

Il existe différentes manières, toutes équivalentes, de définir (axiomatiquement) un matroïde. La première consiste à donner les axiomes que les ensembles indépendants doivent satisfaire. On peut aussi définir les axiomes des bases (c'est-à-dire les indépendants maximaux pour l'inclusion), ou encore définir les axiomes des circuits (pour des raisons de correspondance avec les graphes, les dépendants minimaux par rapport à l'inclusion sont appelés les circuits). Enfin, d'autres définitions concernent la fonction de rang (qui associe à tout sous-ensemble U de S le cardinal maximum d'un indépendant inclus dans U), ou encore un opérateur de fermeture (satisfaisant la propriété d'échange de Mac Lane–Steinitz). Une propriété importante de la fonction de rang d'un matroïde est sa sous-modularité.

Pour les matroïdes binaires, il existe encore une autre définition basée sur les cycles d'un matroïde (c'est-à-dire les unions disjointes de circuits). Ce sont précisément les couples (S, C) tels que C est une collection de sous-ensembles de S fermée par-rapport à la différence symétrique.

La définition originale (Whitney, 1935)

Soient S un ensemble fini non vide et I une famille non vide de parties de S. Le couple (S, I) est appelé un matroïde s'il vérifie les deux axiomes suivants :

• l'hérédité : pour tout élément X de I, tout sous-ensemble Y de X appartient aussi à I.
• l'échange : si X et Y sont deux éléments de I tels que Y a plus d'éléments que X, alors il existe au-moins un élément propre à Y (dans Y mais pas dans X) tel que X union cet élément soit encore dans I.

Les éléments de I sont appelés les indépendants. Une base est un indépendant maximal. On peut montrer que toutes les bases ont même cardinal.

Un exemple est le matroïde uniforme : soient deux entiers non nuls n et k, on obtient un matroïde en prenant pour S un ensemble de n éléments quelconques et pour indépendants les sous-ensembles de cardinalité inférieure à k.

Matroïdes graphiques

Un matroïde graphique est un matroïde tel que S est en bijection avec les arêtes d'un graphe G et où un sous-ensemble de S est indépendant s'il forme une forêt dans G (sous-graphe acyclique). Les circuits (au sens de la théorie des matroïdes) correspondent alors aux circuits de G (au sens de la théorie des graphes). Les matroïdes graphiques sont binaires (il suffit de prendre la matrice d'incidence de G). Ils sont aussi réguliers (il suffit d'orienter arbitrairement G et de prendre la matrice d'incidence).

L'ensemble des coupes d'un graphe constitue l'ensemble des cycles d'un matroïde, que l'on appelle le matroïde cographique.

Une définition algorithmique

Les matroïdes sont précisément les couples (S, I) satisfaisant l'axiome d'hérédité tels que pour toute fonction associant un poids (un réel) à chaque élément de S l'algorithme glouton permet de déterminer un indépendant de poids maximum.