Nombres premiers jumeaux - Définition
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Introduction
En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de 2. Hormis pour la paire (2, 3), cette distance de 2 est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers. Les plus petits nombres premiers jumeaux sont 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13.
Au 15 janvier 2007, les plus grands nombres premiers jumeaux connus sont 2003663613 × 2195000±1, qui possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale et furent découverts par Éric Vautier dans le cadre des projets de calcul distribué Twin Prime Search et PrimeGrid.
La conjecture des nombres premiers jumeaux stipule qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux ; les observations numériques et des raisonnements heuristiques justifient la conjecture, mais aucune démonstration n'en a encore été faite.
Définition
Soit (p,q) un couple de nombres entiers tel que p et q soient tous les deux des nombres premiers et p < q. On dit que (p,q) forme un couple de nombres premiers jumeaux si q = p + 2.
Quelques propriétés
- Le couple (2,3) est le seul couple de nombres premiers consécutifs.
- En omettant le couple (2,3), 2 est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers ; deux nombres premiers jumeaux sont ainsi deux nombres impairs consécutifs.
- Tout couple de nombres premiers jumeaux (à l'exception du couple (3,5)) est de la forme (6n − 1,6n + 1) pour un certain entier n. En effet, toute série de trois nombres entiers naturels consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; ces deux multiples sont confondus entre les deux nombres premiers jumeaux.
- Il est possible de démontrer que, pour tout entier
![4[(m-1)! + 1] + m \equiv 0 \mod m(m+2)](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/9/9af894ecf844d14a19355b74d51b74fb_fa0fc0a1a69e8b54aba17b32bcea619a.png)
- La série des inverses de nombres premiers jumeaux est convergente vers la constante de Brun, au contraire de la série des inverses de nombres premiers. Cette propriété fut démontrée par Viggo Brun en 1919.
![4[(m-1)! + 1] + m \equiv 0 \mod m(m+2)](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/9/9af894ecf844d14a19355b74d51b74fb_fa0fc0a1a69e8b54aba17b32bcea619a.png)
Liste des premiers nombres premiers jumeaux
L'ensemble des nombres premiers jumeaux jusqu'à 1000 :
| (3, 5) | (5, 7) | (11, 13) | (17, 19) | (29, 31) |
| (41, 43) | (59, 61) | (71, 73) | (101, 103) | (107, 109) |
| (137, 139) | (149, 151) | (179, 181) | (191, 193) | (197, 199) |
| (227, 229) | (239, 241) | (269, 271) | (281, 283) | (311, 313) |
| (347, 349) | (419 , 421) | (431 , 433) | (461 , 463) | (521 , 523) |
| (569 , 571) | (599 , 601) | (617 , 619) | (641 , 643) | (659 , 661) |
| (809 , 811) | (821 , 823) | (827 , 829) | (857 , 859) | (881 , 883) |
Conjecture des nombres premiers jumeaux
La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux:
Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit aussi premier.
Bien que la plupart des chercheurs en théorie des nombres pensent que cette conjecture est vraie, elle n'a jamais été démontrée. Ils se basent sur des observations numériques et des raisonnements heuristiques utilisant la distribution probabiliste des nombres premiers.
En 1849, Alphonse de Polignac émit une conjecture plus générale : la conjecture de De Polignac dont le cas n = 2 correspond à la conjecture des nombres premiers jumeaux.
Il existe également une version plus forte de cette conjecture : la conjecture de Hardy-Littlewood, qui fournit une loi de distribution des nombres premiers jumeaux et qui s'inspire du théorème des nombres premiers.
La conjecture des nombres premiers jumeaux est un cas particulier de la conjecture de Schinzel.
Résultats partiels
En 1940, Paul Erdős démontra l'existence d'une constante c < 1 et d'une infinité de nombres premiers p tels que :
- p' − p < cln(p) où p' désigne le nombre premier suivant immédiatement p.
Ce résultat fut plusieurs fois amélioré ; en 1986, Maier montra qu'une constante c < 0,25 pouvait être atteinte.
En 2003, Goldston et Yildirim ont démontré que, pour tout c > 0, il existe une infinité de nombres premiers p tels que p' - p < c ln(p).
En 1966, J.R. Chen a démontré l'existence d'une infinité de nombres premiers p tels que p + 2 soit le produit d'au plus deux facteurs premiers (un tel nombre, produit d'au plus deux facteurs premiers, est dit 2-presque-premier).
Son approche fut celle de la théorie du crible, qu'il utilisa pour traiter de façon similaire la conjecture des nombres premiers jumeaux et la conjecture de Goldbach.
La conjecture de Hardy-Littlewood
Il existe aussi une généralisation de la conjecture des nombres premiers jumeaux, connue sous le nom de conjecture de Hardy - Littlewood, en rapport avec la distribution des premiers jumeaux, par analogie avec le théorème des nombres premiers. Soit π2(x) le nombre de nombres premiers p ≤ x tels que p + 2 soit aussi premier.
On note C2 le nombre obtenu de la façon suivante :
(ici le produit s'étend à l'ensemble des nombres premiers p ≥ 3). C2 est appelé constante des nombres premiers jumeaux
Alors la conjecture de Hardy-Littlewood s'énonce de la façon suivante :
(ce qui signifie que le quotient des deux expressions tend vers 1 quand x tend vers l'infini).
Comme le second membre à une limite infinie quand x tend vers l'infini, cette conjecture démontrerait que le nombre de nombres premiers jumeaux est bien infini.
Cette conjecture peut être justifiée (mais pas démontrée) en supposant que 1/ln(t) est la fonction de densité de la distribution des nombres premiers, une hypothèse suggérée par le théorème des nombres premiers. Cette conjecture est un cas particulier d'une conjecture plus générale appelée conjecture des n-uplets premiers de Hardy-Littlewood utilisée dans les recherches sur la conjecture de Goldbach.
