Notation positionnelle - Définition

Historique

Période antique

La mise en place des systèmes arithmétiques positionnels, en particulier du système décimal, fut initiée par les chinois dans leur numération chinoise au II^e siècle avant J-C, puis finalisée vers l'an 500 de l'ère chrétienne en Inde.

Dans l'Antiquité, on utilisait exclusivement de nombreux systèmes non-positionnels, dont l'exemple le plus connu est la numération romaine, où le nombre trente-huit, par exemple, s'écrit à l'aide de pas moins de sept chiffres (XXXVIII), tandis que le nombre cinquante, se contente d'un seul (L). Il est clair que, dans un tel système de notation, une simple opération comme une multiplication se révèle pratiquement impossible à effectuer sans abaque (boulier, tablettes de calcul à jetons, ou autre outil de calcul).

Moyen Âge

C'est par l'intermédiaire d'Al-Khuwarizmi (qui a donné le mot algorithme) que les Européens ont pris connaissance de l'existence de la numération indienne positionnelle. Vers l'An mille, après avoir mis plus de cinq siècles à s'intéresser à l'existence de ce nouveau système, ils le rejetèrent encore pendant près de cinq siècles. Et pourtant des ecclésiastiques ouverts comme le français Gerbert d'Aurillac, le futur pape de Rome Sylvestre II, qui le premier décrit le système qu'utilisaient les Arabes d'Espagne, ne dit rien dans ce sens. Il décrit le nouveau système avec intérêt et bienveillance.

C'est pourquoi l'Europe du Moyen Âge continuait à faire sa petite comptabilité moyennant des bouliers et des jetons, écrivant les résultats dans des textes en latin et, naturellement, en utilisant les chiffres romains non-positionnels. On peut dire que le système arithmétique positionnel, tout comme les chiffres dits arabes, n'était pas utilisé dans l'Europe du Moyen Âge, sauf par des utilisateurs isolés et suspects aux yeux des autres, comme par exemple le mathématicien italien Fibonacci et plus tard, bien sûr, le mathématicien français Nicolas Chuquet.

C'est seulement à la Renaissance, avec le réveil des sciences, que l'Europe enfin comprit, que l’on ne pouvait pas faire l'impasse de ce nouveau système. Mille ans (!) après son invention en Inde. Enfin tout le monde occidental admet, qu'en fait, cela est beaucoup plus simple comme ça. La lutte entre les abacistes et les algoristes, qui avait duré près de trois siècles, conduit enfin à la victoire du camp de ces derniers.

La notation positionnelle a rendu possible une représentation simple de tous les nombres. Ce fut une des découvertes majeures de l'histoire des mathématiques. Elle a permis le développement de l'arithmétique, et des mathématiques modernes.

Symboles positionnels

De même que dans notre système, aucun symbole n'est employé pour séparer chaque position dans les systèmes de numération babylonien, maya et thaï. Cependant, en l'absence de zéro positionnel, dans le système babylonien, pouvait signifier, par exemple, aussi bien un que soixante. Cependant, dans d'autres écritures, ces marqueurs de position s'avèrent systématiques, comme la virgule utilisée pour la traduction des textes mésopotamiens.

Seuls les nombres entiers avaient une représentation dans le système de numération maya. Dans la numération babylonienne, contrairement à ponctuation que nous plaçons entre le chiffre des unités et celui des dixièmes, aucun marqueur de position ne séparait la partie entière de la partie fractionnaire du nombre. Ainsi, pouvait, par exemple, non seulement signifier un et soixante, mais aussi un soixantième dans le système babylonien. Quant à elle, la numération thaï utilise, comme dans notre système, un marqueur de position pour séparer les puissances de mille.