Parité (arithmétique) - Définition

Résultats utilisant la parité

Écriture en base

Un nombre exprimé dans le système de numération décimal est pair ou impair si son dernier chiffre est pair ou impair. Suivant cela, si le dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8 alors le nombre est pair; si le dernier chiffre est 1, 3, 5, 7 ou 9 alors le nombre est impair.

Le même système est utilisable dans n'importe quelle base paire. En particulier, un nombre exprimé en système de numération binaire est impair si son dernier chiffre est 1 et pair si son dernier chiffre est 0.

Dans une base impaire, le nombre est pair si la somme de ses chiffres est paire, et est impair si la somme de ses chiffres est impair.

Nombres premiers, nombres parfaits

Tous les nombres premiers sont impairs, avec une exception : le nombre premier 2.

La conjecture de Goldbach établit que chaque entier pair supérieur à 2 peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers. Les calculs modernes par ordinateur ont montré que cette conjecture est vraie pour les entiers inférieurs à 4 × 10¹⁴, mais la démonstration générale n'a pas encore été trouvée.

Tous les nombres parfaits connus sont pairs ; nous ne savons toujours pas s'il existe un nombre parfait impair.

Structures

Les nombres pairs forment un idéal dans l'anneau des entiers, mais pas les nombres impairs. Un entier est pair s'il est congru à 0 modulo cet idéal, en d'autres mots s'il est congru à 0 modulo 2, et impair s'il est congru à 1 modulo 2.

Le théorème de Feit-Thompson établit qu'un groupe fini est toujours résoluble si son ordre est un nombre impair. Ceci est un exemple de nombres impairs jouant un rôle dans les théorèmes de mathématiques plus poussées où la méthode d'application d'un simple hypothèse d'"ordre impair" est loin d'être évidente.

Musique

Avec les instruments à vent qui sont cylindriques et clos à une extrémité, comme la clarinette à bec, les harmoniques produites sont des multiples impairs de la fréquence fondamentale.