Polynôme minimal d'un endomorphisme - Définition
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Propriétés
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- En dimension finie, le polynôme minimal existe toujours et il est de degré inférieur ou égal à la dimension de l'espace.
- Les polynômes qui annulent l'endomorphisme et que l'on appelle polynômes annulateurs de u forment un idéal principal dans l'anneau des polynômes.
La notion de polynôme minimal d'un endomorphisme peut être restreinte à un vecteur. Le polynôme minimal d'un vecteur x est le polynôme normalisé de plus petit degré qui, appliqué à u, annule x.
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- Si x est un vecteur, alors le polynôme minimal de x divise le polynôme minimal. Il existe au moins un vecteur tel que les deux polynômes soient égaux.
- Les racines du polynôme minimal forment l'ensemble des valeurs propres.
- Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé (c'est-à-dire qu'il possède toutes ses racines) sans racine multiple.
- Le Théorème de Cayley-Hamilton nous indique que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.
Toutes ces propriétés sont démontrées dans l'article Polynôme d'endomorphisme qui développe la théorie mathématique associée à ce concept et présente d'autres propositions plus avancées.
