Polynôme minimal d'un endomorphisme - Définition

Introduction

Le polynôme minimal est un outil qui permet d'utiliser des résultats de la théorie des polynômes à l'algèbre linéaire. Il est en effet possible d'appliquer un polynôme à un endomorphisme, comme expliqué dans l'article intérêt du concept de polynôme d'endomorphisme.

Il est défini comme le polynôme normalisé (son coefficient de plus haut degré est égal à 1) de plus petit degré qui annule un endomorphisme c'est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même.

Il est utilisé essentiellement en dimension finie ; il joue un rôle important dans la réduction d'endomorphisme. Il dispose de propriétés fortes dont la plus célèbre est probablement le théorème de Cayley-Hamilton.

Les démonstrations associées au polynôme minimal se trouvent essentiellement dans l'article Polynôme d'endomorphisme qui approfondit ce concept dans un cadre théorique plus large.

Il existe un cas particulier, utilisé dans le cadre de la théorie de Galois et la théorie algébrique des nombres appelée polynôme minimal d'un nombre algébrique.

Définition

On suppose que E est un espace vectoriel de dimension finie et égale à n. Soit u un endomorphisme de E. Nous avons la définition suivante:

• Le polynôme minimal de l'endomorphisme u est le polynôme unitaire de plus petit degré qui annule u.

Approche par l'exemple

Considérons le cas où n est égal à 2, où l'espace vectoriel est réel, ce qui signifie que les multiplications scalaires des vecteurs ont lieu sur les réels. Soit un endomorphisme u ayant la représentation matricielle suivante dans une base (e₁, e₂):

Calculons alors la représentation matricielle du carré de u, on trouve:

Existence du polynôme minimal

On peut alors remarquer qu'il existe une relation de dépendance linéaire entre u², u et Id l'endomorphisme identité. En effet:

Ce qui nous montre l'existence du polynôme minimal que nous notons

Dans cet exemple, nous avons montré l'existence du polynôme minimal et nous avons montré que son degré est égal à la dimension de l'espace vectoriel. Cette propriété est générale en dimension finie, le polynôme minimal existe toujours et son degré est inférieur ou égal à la dimension de l'espace.

Valeurs propres et racines

Un vecteur propre est un vecteur non nul dont l'image par l'endomorphisme lui est proportionnelle. Une des propriétés du polynôme minimal réside dans le fait que ses racines sont les valeurs propres. Recherchons alors des vecteurs propres en utilisant cette propriété. Pour la valeur propre 2, on trouve:

et un vecteur propre est: u₁ = e₁ − e₂

En résolvant ce système nous obtenons x = − y. En posant x = λ , nous obtenons y = − λ, qui est la description paramétrique de tout vecteur propre. En choisissant λ = 1, nous obtenons le vecteur propre (1,-1)

On peut vérifier de même que est un vecteur propre associé à la valeur propre 3. Cette approche permet de calculer les valeurs et vecteurs propres sans calcul de déterminant. Plus la dimension augmente, plus ce mode de calcul devient efficace.

Polynôme minimal et diagonalisation

Nous disposons de deux vecteurs propres u₁ et u₂ qui forment une famille libre dans un espace de dimension 2, ils constituent donc une base. Nous pouvons alors remarquer que dans cette base, l'endomorphisme s'exprime sous la forme:

Une telle matrice possède des termes tous nuls en dehors de la diagonale. Cet exemple illustre une propriété importante du polynôme minimal. L'endomorphisme est diagonalisable si et seulement si le polynôme possède toutes ses racines et qu'aucune de ses racines ne soit multiple.

Polynôme minimal et polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique correspond au déterminant de l'application . Il possède une propriété particulière. À l'instar du polynôme minimal, ses racines sont aussi les valeurs propres. Calculons alors le polynôme caractéristique P de notre endomorphisme:

Le polynôme caractéristique est dans ce cas égal au polynôme minimal. Dans le cas général, le polynôme minimal divise toujours le polynôme caractéristique mais l'égalité n'est pas systématique.