Rotationnel - Définition

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Unité

Dans le cas usuel où les coordonnées de la base représentent des longueurs, l'unité du rotationnel est alors l'unité du champ considéré divisée par une unité de longueur. Par exemple, l'unité du rotationnel d'un champ de vitesse est le radian par unité de temps, comme une vitesse angulaire.

Règles de calcul

Linéarité

Pour toute constante c réelle et pour tous champs vectoriels A et B

\boldsymbol \nabla \wedge (c \boldsymbol  A) = c \boldsymbol  \nabla \wedge \boldsymbol  A ,
\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol A + \boldsymbol  B) = \boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A + \boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol B .

Composition avec une autre quantité

Pour tout champ scalaire u,

\boldsymbol \nabla \wedge (u\;\boldsymbol A) = u \times( \boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A) + (\boldsymbol \nabla u) \wedge \boldsymbol A ,
\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol A \wedge \boldsymbol B) = (\boldsymbol B \cdot \boldsymbol \nabla) \boldsymbol A - (\boldsymbol A \cdot \boldsymbol \nabla) \boldsymbol B + \boldsymbol A \times (\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol B) - \boldsymbol B \times (\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol A) .

Composition avec plusieurs opérateurs

\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol  \nabla u) = \boldsymbol 0 ,
\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A) = \boldsymbol \nabla (\boldsymbol \nabla \cdot \boldsymbol A) - \Delta \boldsymbol A

(Voir rotationnel du rotationnel)

\boldsymbol \nabla \wedge (\boldsymbol A \cdot \boldsymbol \nabla \boldsymbol A) = \boldsymbol A \cdot \boldsymbol \nabla (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A) - (\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A)\cdot \boldsymbol \nabla \boldsymbol A

Expression dans d'autres systèmes de coordonnées

En coordonnées cylindriques

\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\right) \boldsymbol u_r + \left(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\boldsymbol u_\theta + \frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right) \boldsymbol u_z .

En coordonnées sphériques

\boldsymbol \nabla \wedge \boldsymbol A  =   \frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta A_\varphi)-\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol u_r    + \left(\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \varphi}-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_\varphi)\right) \boldsymbol u_\theta    + \frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right)\boldsymbol u_\varphi .
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