Sinus cardinal - Définition
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Introduction
En mathématiques, la fonction sinus cardinal est une fonction spéciale définie à partir de la fonction trigonométrique sinus, apparaissant fréquemment dans des problèmes de physique ondulatoire, et dont le graphe est communément appelé « chapeau mexicain ».
Définitions
La fonction sinus cardinal est définie par :
-
où sin désigne la fonction sinus.
Comme souvent en mathématiques, il existe une autre définition couramment utilisée :
-
Quand une confusion pourra être possible, on notera par la suite
Utilisation et applications
- E. T. Whittaker a montré que la fonction sinus cardinal joue un rôle central dans la théorie de l'interpolation sur un réseau de points équidistants.
- Étant donné que la transformée de Fourier de la fonction porte est très couramment utilisée, le sinus cardinal est forcément très utilisé aussi, notamment en physique ondulatoire (car tous les phénomènes de diffraction sont traités par transformée de Fourier) ainsi qu'en traitement numérique du signal. Plus précisément, en théorie de la communication, la fonction sinus cardinal permet la synthèse exacte des signaux à spectre de support fini (formule de Shannon, 1949). En particulier, le sinus cardinal est fréquemment rencontré en théorie des antennes, en acoustique, en radar, pour la diffraction par une fente, etc.
- La même idée est à la base de l’approximation sigma de Cornelius Lanczos.
- On utilise également souvent le carré du sinus cardinal, car celui-ci donne l'intensité ou la puissance du signal dont l'amplitude est en sinus cardinal. Souvent, on cherchera à réduire l'influence des maxima secondaires du module (qui donne lieu à des lobes secondaires indésirables).
- Étant donné que les valeurs décroissent rapidement, le carré de la fonction sinus cardinal est souvent représenté en échelle logarithmique.
Propriétés
Propriétés élémentaires
La valeur en zéro semble de prime abord non définie, mais le calcul de limite est possible : on reconnaît en
un taux d'accroissement pour la fonction sinus, dont la limite en 0 est la dérivée du sinus en 0, égale à cos(0) = 1.
Les zéros de la fonction sont atteints en
| x |
|
|
|
|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 4.493409 | 1.430297 | -0.217234 | 0.047190 | -13.261459 |
| 7.725252 | 2.459024 | 0.128375 | 0.016480 | -17.830421 |
| 10.904122 | 3.470890 | -0.091325 | 0.008340 | -20.788187 |
| 14.066194 | 4.477409 | 0.070913 | 0.005029 | -22.985427 |
| 17.220755 | 5.481537 | -0.057972 | 0.003361 | -24.735664 |
| 20.371303 | 6.484387 | 0.049030 | 0.002404 | -26.190829 |
| 23.519452 | 7.486474 | -0.042480 | 0.001805 | -27.436388 |
| 26.666054 | 8.488069 | 0.037475 | 0.001404 | -28.525278 |
| 29.811599 | 9.489327 | -0.033525 | 0.001124 | -29.492589 |
| 32.956389 | 10.490344 | 0.030329 | 0.000920 | -30.362789 |
| 36.100622 | 11.491185 | -0.027690 | 0.000767 | -31.153625 |
| 39.244432 | 12.491891 | 0.025473 | 0.000649 | -31.878380 |
| 42.387914 | 13.492492 | -0.023585 | 0.000556 | -32.547257 |
La valeur où le carré de
Résultats de calcul infinitésimal
La fonction est développable en série entière sur la droite réelle
De là vient que le sinus cardinal est indéfiniment dérivable sur
Les primitives de la fonction sinus cardinal ne peuvent être calculées à l'aide des fonctions élémentaires. Il est habituel de définir une fonction spéciale, la fonction sinus intégral comme la primitive du sinus cardinal nulle en 0
On démontre que l'intégrale
Transformée de Fourier
La transformée de Fourier du sinus cardinal est la fonction porte:
où la fonction porte est définie de la manière suivante :
-
La transformée de Fourier de la fonction porte telle que définie ci-dessus est également un sinus cardinal:
-
