Théorème de Maschke - Définition

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Introduction

Heinrich Maschke

En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème de Maschke est un des théorèmes fondamentaux de la théorie de la représentation des groupes.

Ce théorème permet, si la caractéristique du corps est soit nulle soit première avec l'ordre du groupe, d'établir une décomposition de la représentation en facteurs irréductibles. Elle admet des généralisations pour l'étude des G-modules, des algèbres de groupes et des groupes de Lie.

Ce théorème doit son nom au mathématicien Heinrich Maschke .

Énoncés des théorèmes

Le cas le plus simple est celui de la représentation d'un groupe fini :

  • Soit (V, ρ) une représentation d'un groupe G d'ordre fini sur un corps K de caractéristique nulle ou première avec l'ordre de G, alors V est somme directe de sous-espaces irréductibles.

En terme matriciel, cela signifie qu'il existe une unique décomposition optimale, en somme de sous-espaces vectoriels, de l'espace vectoriel V, telle que tous les automorphismes de la représentation s'écrivent sous forme diagonale par blocs suivant cette décomposition ; l'optimalité étant choisie dans le sens qu'aucune décomposition plus fine ne conserverait la propriété d'écriture diagonale par blocs des automorphismes considérés.

Cette définition est équivalente à la donnée d'un G-module :

  • Soit V un G-module sur un groupe G d'ordre fini sur un corps K de caractéristique nulle ou première avec l'ordre de G, alors V est semi-simple.

Ce théorème possède une expression analogue en termes d'algèbre d'un groupe fini :

  • Si K est un corps de caractéristique nulle ou première avec l'ordre de G un groupe fini, alors l'algèbre de groupe K[G] est semi-simple.

Ce théorème possède une généralisation. Si le groupe est topologique, il peut parfois être muni d'une mesure compatible avec la loi du groupe et appelée mesure de Haar. C'est le cas par exemple des groupes compacts. Les conséquences du théorème sont alors encore vérifiées.

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