Théorème du redressement - Définition

Introduction

En mathématiques, le théorème du redressement d'un flot est un résultat de géométrie différentielle qui s'applique à un champ vectoriel. Il est l'un des théorèmes usuels en géométrie différentielle. Le théorème indique qu'un champ vectoriel suffisamment régulier se comporte localement comme un champ vectoriel constant.

Il est utilisé pour l'étude d'un système dynamique autonome, c'est-à-dire à une équation différentielle du type p' = X(p). Si X est localement lipschitzienne, alors il existe un fonction α(t, p) telle que les applications t -> α(t, p) soient les solutions qui, en 0, valent p. L'application α est appelée flot, d'où le nom du théorème.

Ce résultat donne une information locale sur le flot. Il interdit même une certaine forme de chaos : localement un flot ne bifurque pas et est homéomorphe à une fonction affine. En dimension deux, si une orbite se trouve dans un compact contenu dans l'ensemble de définition de X, toute forme de chaos est impossible. Ce résultat, connu sous le nom de théorème de Poincaré-Bendixson, se démontre à l'aide de ce théorème.

Énoncés

Selon le contexte, le théorème prend une forme différente. Une première version se formalise de la manière suivante. Soit E un espace de Banach réel, Ω un ouvert de E, X une application de classe C¹ de Ω dans E et p₀ un point de Ω tel que X(p₀) ne soit pas le vecteur nul.

• Théorème du redressement d'un champ de vecteurs dans un Banach : Si le champ de vecteurs X est de classe C^k, où k est un entier strictement positif ou l'infini, il existe un C^k difféomorphisme f d'un ouvert V dans un ouvert V' , tel que f(0) = p₀ et f ^* X soit le champ constant égal à X(p₀). Ici V' désigne un ouvert contenant p₀ et inclus dans Ω et V un ouvert d'un espace de Banach isomorphe à E et contenant le vecteur nul..

Ce théorème possède un équivalent pour les variétés différentielles :

• Théorème du redressement d'un champ de vecteurs dans une variété : Soit M une variété de dimension n et de classe C^k, où k est un entier strictement positif ou l'infini, et X un champ de vecteurs contenant un point p₀ de M. Si X(p) est un vecteur non nul, il existe une carte locale φ définie sur un ouvert V de Rⁿ tel que l'image de V par cette carte soit un ouvert U de M contenant p₀ et tel que l'image du champ de vecteur X par φ sur Rⁿ vérifie :

• Théorème des boites à flot : Soit U un ouvert contenant p₀ et inclus dans Ω. Il existe S une section transverse à X en p₀ inclus dans un hyperplan affine de direction H, un réel strictement positif σ et un difféomorphisme f défini sur un ouvert V, inclus dans U, et à valeurs dans Sx]-σ, σ[, qui envoie S dans Hx{0} et tel que le flot α(t, p) défini par X vérifie la propriété suivante :

Démonstration

La démonstration se fonde essentiellement sur l'usage du théorème d'inversion locale et des propriétés d'un flot d'une équation différentielle. La démonstration se fait en deux temps. Tout d'abord, une fonction affine q est composée à X de manière à ce que le champ de vecteurs q ^*X ait pour différentielle l'identité au voisinage du vecteur p₀. Comme le champ X est de classe C^k et q infiniment différentiable, le nouveau flot est de classe C^k-1 et le théorème d'inversion locale s'applique. Il existe un ouvert V contenant p₀ tel que le flot soit inversible. Ce flot permet la construction de la fonction f recherchée.

La démonstration sur un espace vectoriel permet d'en déduire immédiatement celle associée à une variété.

Construction de f

Soit λ₁ la forme linéaire définie sur R.X(p₀) qui à a.X(p₀) associe a, λ un prolongement linéaire continu de λ₁ sur E, qui existe d'après un corollaire du théorème de Hahn-Banach et H l'hyperplan noyau de λ, qui est fermé car λ est continue. Soit π, la projection de E sur H, qui à x associe π(x) = x - λ(x).X(p₀). On définit la fonction q, de RxH dans E par :

On remarque que q est bien un difféomorphisme infiniment différentiable, car q est une application affine. On dispose des égalités :

On en déduit l'égalité, si Y désigne le champ de vecteurs q^* X :

Soit α_Y le flot associé à l'équation différentielle (τ, x)' = Y((τ, x)). C'est l'application qui à (t, (τ, x)) associe α_Y(t, (τ, x)), l'image de t par la courbe intégrale s de condition initiale s(0) = (τ, x). Comme X est de classe C^k, Y l'est aussi (q est infiniment différentiable) et le flot α_Y est de classe C^k-1. On considère alors l'application Ψ, qui à (t, x)) associe Ψ(t, x)) = α_Y(t, (0, x)). Cette application est de classe C^k-1 et est définie sur un ouvert V₁ contenant (0, 0).

Il est aisé de calculer les deux différentielles partielles :

On en déduit que la différentielle de Ψ est égal à l'identité au point (0, 0). Ce qui montre qu'il existe ouvert V contenant (0, 0) et inclus dans V₁ et tel que Ψ soit un difféomorphisme sur V, d'après le théorème d'inversion locale. On définit f comme la fonction définie sur V, égale à qoΨ.

Propriété de la fonction f

Soit (t, x) un élément de V, Calculons la différentielle de DΨ_(t,x) appliquée au vecteur (1, 0) :

On en déduit l'égalité, en appliquant l'inverse de DΨ_(t,x) à l'égalité précédente :

Calculons l'inverse de la différentielle de f au point (t, x) :