Application affine - Définition

Introduction

C’est Euler, en 1748, qui est à l’origine du terme « transformation affine », car dit-il, « deux courbes images l’une de l’autre par une telle transformation présentent entre elles une certaine affinité ».

De nos jours, une application affine est une application entre deux espaces affines qui préserve la structure affine, c'est-à-dire qui envoie les droites, plans, espaces,... en des droites, plans, espaces, ... tout en préservant la notion de parallélisme.

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Définition et premières propriétés

Une application d'un espace affine vers un espace affine est dite affine s'il existe une application linéaire de l'espace vectoriel associé à vers l'espace vectoriel associé à , appelée la partie linéaire de , satisfaisant :

pour tous points et de .

Une application affine est donc déterminée par la donnée d'un couple de points homologues et et de sa partie linéaire :

Si E est de dimension n, elle est également déterminée par la donnée de n + 1 points formant un repère affine et de leurs images.

Définitions équivalentes :

• Application linéaire d'un vectorialisé de , vers un vectorialisé de .
• Application conservant les barycentres.

Deux sous-affines parallèles dans ont pour image des sous-espaces affines parallèles dans (les applications affines préservent le parallélisme).

Une application affine d'un espace affine dans lui même est appelée endomorphisme affine, et un endomorphisme bijectif est appelé un automorphisme, ou plus couramment une transformation affine. Les transformations affines forment un groupe, appelé le groupe affine de , noté

Points fixes des endomorphismes affines

Les points fixes jouent un rôle important pour les endomorphismes affines car un endomorphisme affine ayant un point fixe est "moralement" une application linéaire (du vectorialisé ).

S'il est non vide, l'ensemble des points fixes de l'endomorphisme affine est un sous-espace affine de direction  : de plus si , alors il existe au moins un point invariant pour . On en déduit qu'en dimension finie si la partie linéaire de a un unique vecteur invariant, alors a un unique point invariant.

D'autre part, pour un endomorphisme affine sans point fixe, on trouve facilement une translation qui, composée avec , donne une application ayant un point fixe, mais cette translation ne commute pas avec en général. Cependant, si , il existe un unique vecteur et une unique application affine ayant un point fixe telle que  ; c'est le cas par exemple des symétries glissées.

Exemples d'endomorphismes affines

• les translations (caractérisation : partie linéaire = l'identité).

• les symétries centrales (caractérisation : partie linéaire = - l'identité) .

• plus généralement, les homothéties (affines) (caractérisation : partie linéaire = une homothétie (vectorielle), uniquement dans le cas d'un rapport différent de 1)

• les symétries (affines) (caractérisation : au moins un point fixe et partie linéaire = une involution, ou application affine de carré égal à l'identité)

• les projections (affines) (caractérisation : au moins un point fixe et partie linéaire = un projecteur, ou application affine de carré égal à elle-même)

• les affinités, comprenant toutes les précédentes

• les transvections

• dans le cas euclidien : les isométries et similitudes

Les applications affines dans Kn

Les applications affines dans sont exactement les applications de la forme

avec et deux réels quelconques. L'application linéaire qui lui est associée est avec

De façon plus générale, une application affine est une application de la forme

où est une matrice et une matrice . L'application linéaire associée est définie par

Translations et affinités dans Rⁿ

• L'application T est une translation de vecteur si et seulement si

• L'application T est une affinité de coefficient k si et seulement si la matrice A n'admet pour valeurs propres que 1 et k, et si les espaces propres associés sont supplémentaires (la somme de leurs dimensions est égale à n, l'une d'elle pouvant être nulle).
  • En particulier, si k = 0, l'affinité est une projection (la matrice A représente une projection vectorielle dans ).
  • Si k = − 1, alors l'affinité est une symétrie (la matrice A représente une symétrie vectorielle).
  • Si A n'admet qu'une seule valeur propre de multiplicité n, alors T est une homothétie de rapport k et de centre P qui est l'unique point solution du système linéaire