Calcul d'incertitude
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Le calcul d'incertitude permet d'évaluer correctement les erreurs qui se produisent lors de mesures liées à la vérification d'une relation entre différentes grandeurs physiques. Les instruments de mesure n'étant pas de précision infinie, les mesures faites pendant une expérience ne sont pas exactes. Il faut donc évaluer ces incertitudes pour répondre à la question : " la relation n'est pas vérifiée exactement parce qu'elle est fausse ou parce que les mesures sont incertaines ? " On en déduit des marges d'erreurs, en dehors desquelles la relation sera invalidée. Cela fait partie intégrante de la méthode scientifique (On appelle méthode scientifique l'ensemble des canons guidant ou devant guider le processus de production des connaissances scientifiques, que ce soit des observations, des expériences, des raisonnements, ou...).

Utilisation des différentielles totales exactes

Une loi physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général...) s'exprime par une relation algébrique entre un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de grandeurs mesurables :

Exemples simples : surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa...) et volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.)

  • Le calcul de la surface d'un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.) de côtés L et l:
S=L \cdot l

devient lorsque les côtés deviennent L+dL et l+dl:

S(L+dL,l+dl)=  (L+dL) \cdot(l+dl) = L\cdot l + L \cdot dl +l\cdot dL +  dl\cdot dL
et donc la variation de la surface dS peut s'écrire :
dS =  (L+dL)\cdot (l+dl) - L \cdot l =  L\cdot dl +l\cdot dL + dL\cdot dl
que l'on approche par :
dS = L\cdot dl +l\cdot dL

car dL.dl est négligeable.

Noter que
dS =  \frac{\partial (L\cdot l) }{\partial L}dL+\frac{\partial (L\cdot l) }{\partial l}dl

car:

\frac{\partial (L\cdot l) }{\partial L}= l ; \frac{\partial (L\cdot l) }{\partial l}=L
et donc:
dS=  \frac{\partial S(L,l) }{\partial L}dL+\frac{\partial S(L,l) }{\partial l}dl
  • de même la variation de volume d'une boîte de côtés x, y, z de volume V=xyz :
V(x+dx,y+dy,z+dz) = (x+dx)\cdot(y+dy)\cdot(z+dz) = x\cdot y\cdot z +dx\cdot  y \cdot z+x\cdot dy\cdot z + x\cdot y\cdot dz + x\cdot dy\cdot dz +  y\cdot dx\cdot dz + z\cdot dx\cdot dy + dx\cdot dy\cdot dz
peut s'écrire :
dV =V(x+dx,y+dy,z+dz) - x\cdot y\cdot z = = dx\cdot  y \cdot z+x\cdot dy\cdot z + x\cdot y\cdot dz + x\cdot dy\cdot dz +  y\cdot dx\cdot dz + z\cdot dx\cdot dy + dx\cdot dy\cdot dz
que l'on approche par :
dV = y\cdot z\cdot dx +z\cdot x\cdot dy +  x\cdot y\cdot dz
Noter que
dV = yz dx +zx dy +  xy dz = \frac{\partial (xyz) }{\partial x}dx+\frac{\partial (xyz) }{\partial y}dy+\frac{\partial (xyz) }{\partial z}dz

car:

\frac{\partial (xyz) }{\partial x}= yz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial y}=xz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial z}=xy
et donc:
dV = \frac{\partial (xyz) }{\partial x}dx+\frac{\partial (xyz) }{\partial y}dy+\frac{\partial (xyz) }{\partial z}dz= \frac{\partial V(x,y,z) }{\partial x}dx+\frac{\partial V(x,y,z) }{\partial y}dy+\frac{\partial V(x,y,z) }{\partial z}dz

La variation d'une fonction f(x,y,z)

Et plus généralement, pour le calcul de la variation d'une fonction f(x,y,z).

\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial x} = dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou...) partielle par rapport à x

d f(x,y,z)  = \frac{\partial  f(x,y,z) }{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial y}dy+\frac{\partial  f(x,y,z)}{\partial z}dz

la loi des gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme propre ni de volume...) parfaits

Prenons par exemple la loi des gaz parfaits reliant :

  • P : la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) du gaz
  • V : le volume occupé par le gaz
  • n : la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une...) de gaz en moles (1 mole = 6,022 1023 molécules)
  • R : la constante des gaz parfaits = 8,314 J.K-1.mol-1
  • T : la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid et de chaud, provenant du...) absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température ambiante ou plus généralement par chauffe, puis par...) du gaz, en kelvin (Le kelvin (symbole K, du nom de Lord Kelvin) est l'unité SI de température thermodynamique. Par convention, les noms d'unité sont des noms communs et s'écrivent en minuscule...).

P =\frac{n \times R \times T}{V} exprime la pression en fonction de n, R, T et V.

Écrivons sa différentielle :

dP (T,R,n,V)=P (T+dT,R+dR,n+dn,V+dV)-P (T,R,n,V)  =\frac{n \times R}{V} dT + \frac{n  \times T}{V} dR + \frac{ R \times T}{V}dn - \frac{n \times R \times T}{V^2}dV.

la variation la plus grande s'obtiendra lorsque les 4 termes ci-dessus s'ajouteront:

\delta P =\frac{n \times R}{V}\delta T + \frac{n  \times T}{V}\delta R +\frac{ R \times T}{V}\delta n + \frac{n \times R \times T}{V^2}\delta V donne l'erreur absolue sur P déduite du calcul de P à partir de la connaissance des erreurs sur T, R, n et V.

Noter que l'on a dans ce cas particulier : \frac{dP (T,R,n,V)}{P} = \frac{P (T+dT,R+dR,n+dn,V+dV)-P (T,R,n,V)}{P}. \frac{dP (T,R,n,V)}{P} = \frac{ \frac{n \times R}{V} dT + \frac{n  \times T}{V} dR +\frac{ R \times T}{V} dn - \frac{n \times R \times T}{V^2} dV }{P}= \frac{dT}{T} + \frac{dR}{R} +\frac{dn}{n} - \frac{dV}{V}.

et donc dans l'absolu: \frac{\delta P}{P} =\frac{\delta T}{T} + \frac{\delta R}{R} +\frac{\delta n}{n} + \frac{\delta V}{V}.

Noter aussi que l'on peut utiliser la "différentielle logarithmique" :

en effet : P =\frac{n \times R \times T}{V}.

donc : \ln(P) =\ln(n) +\ln(R) +\ln(T) -\ln(V)\,.

donc en derivant : \frac{dP}{P} =\frac{dT}{T} + \frac{dR}{R} +\frac{dn}{n} - \frac{dV}{V}.

Cette méthode plus rapide, s'applique lorsqu'on cherche à faire la différentielle d'une fonction, quotient ou produit de plusieurs variables.

Les incertitudes relatives s'ajoutent lorsque l'on a un produit de variables et ce résultat est remarquable car il est facile à retenir: les incertitudes relatives s'ajoutent lorsque la formule ne comporte que des produit (au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) large: une division (La division est une loi de composition qui à deux nombres associe le produit du premier par l'inverse du second. Si un nombre est non nul, la fonction "division...) est un produit par l'inverse).

Utilisation de calculatrices

Ce qui vient d'être fait peut être fait par calcul direct avec une calculatrice (Une calculatrice, ou calculette, est une machine conçue pour effectuer des calculs. D'abord mécanique, la machine à calculer est devenue électronique dans les années...) ou un tableur (sur ordinateur):

Utilisation de graphes et de barres d'erreurs

Reprenons l'exemple de l'étude des gaz parfaits. Si l'on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma...) P en fonction de 1/V, on obtiendra théoriquement une droite passant par l'origine, avec comme pente RnT : y=(RnT).x.

n et T étant maintenus constants (l'enceinte ou cellule de mesure contenant le gaz étant sans fuite et thermostatée avec T connu à 0,2%), P étant mesuré, en utilisant un manomètre (Un manomètre est un instrument servant à mesurer une pression.), avec 5% d'erreur relative, et V étant mesuré avec 2% d'erreur relative, pour chaque point (Graphie) de mesure expérimentale ( En art, il s'agit d'approches de création basées sur une remise en question des dogmes dominants tant sur le plan formel, esthétique, que sur le plan culturel et politique....) (P,1/V), on trace des barres d'erreurs représentant l'erreur absolue.

Image:PV=nRT.jpg

Un programme de " fit " ou d'ajustage (L'ajustage regroupe les actions visant à parfaire des pièces mécaniques (supprimer les petits défauts) et à les assembler dans le but de fabriquer...) de courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des...), basé sur l'idée de minorer la distance de la droite (ou courbe) à tous les points expérimentaux, permet de tracer la droite théorique et de calculer sa pente nRT avec un coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un...) de confiance r² proche de l'unité, si le fit est bon. On utilise la "méthode des moindres carrés (La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Gauss et Legendre, permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d’erreurs de mesure à un modèle mathématique...)" : le programme utilisé somme les distances entre la droite et chaque point, le minimum de cette somme correspondant à la meilleure droite de régression.

Dans le cas de figure ci dessus, on obtient ainsi nRT= 2.54 (1 ± 0.07) Joule

Ceci permet de dire que à n et T constants, l'expérience confirme que PV est constant à 7% près pour le gaz étudié et que pour améliorer ce résultat, il faut mesurer V à mieux que 5%.

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