Travail d'une force
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Le travail d'une force est l'énergie fournie par cette force lorsque son point d'application se déplace (l'objet subissant la force se déplace ou se déforme). Si par exemple on pousse une voiture, le travail de la poussée est l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) produite par cette poussée (En aérodynamique, la poussée est la force exercée par le déplacement de l'air brassé par un moteur, dans le sens inverse de l'avancement.). Le travail est exprimé en joules (J), et est souvent noté W, initiale du mot anglais Work qui signifie travail.

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Une force (Le mot force peut désigner un pouvoir mécanique sur les choses, et aussi, métaphoriquement, un pouvoir de la volonté ou encore une vertu morale « cardinale » équivalent au courage (cf. les articles...) constante \vec{F} qui s'applique sur un objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette...) parcourant un trajet rectiligne \vec{u} fournit une énergie, un travail W

W = \vec{F}\cdot \vec{u}

On remarque que seule la composante de \vec{F} qui est parallèle à \vec{u} travaille (propriété du produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet de...): le scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) de 2 forces orthogonales est nul).

Si la force change au cours du trajet, ou si le trajet n'est pas rectiligne, on se ramène à une courte durée dt pendant laquelle la force peut être supposée constante et le trajet parcouru \vec{du} est considéré comme rectiligne (tangent à la courbe) ; ce travail élémentaire est noté δW et vaut :

\delta W = \vec{F} \cdot \vec{du}.

On peut alors obtenir le travail total ( Total est la qualité de ce qui est complet, sans exception. D'un point de vue comptable, un total est le résultat d'une addition, c'est-à-dire une somme....) fourni (Les Foúrnoi Korséon (Grec: Φούρνοι Κορσέων) appelés plus communément Fourni, sont un archipel de petites îles...) par la force \vec{F}, en sommant les travaux sur la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) \mathcal{C} parcourue par le point (Graphie) d'application de \vec{F} :

W=\int_{\mathcal{C}}\vec{F}\cdot\vec{du}

Si la trajectoire est circulaire (par exemple dans le cas où le point d'application d'une force est en rotation autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis, Kaupifalco, Megatriorchis,...) d'un axe (\Delta)\,), alors le travail élémentaire du moment résultant vaut \delta W = \vec{M} \cdot \vec{d\theta}\,, où \vec{M} est le moment de la force par rapport à (\Delta)\, et \vec{d\theta} l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) parcouru par le solide pendant une courte durée dt.

Cas particuliers

Considérons une force \vec{F} constante s'appliquant sur un objet se déplaçant sur une trajectoire rectiligne. Un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de cas particuliers permettent d'illustrer la notion de travail d'une force :

Quelques cas particuliers du travail d'une force
  • Si la force \vec{F} est parallèle au déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la...) \vec{u} et orientée dans le même sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive...), le travail W = \vec{F}\cdot\vec{u}, fourni par la force est positif : d'après le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un...) de l’énergie cinétique (Le mot cinétique fait référence à la vitesse.), la force a augmenté l'énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est l’énergie que possède un corps du fait de son mouvement....) du système, celui-ci se déplace donc plus rapidement. On appelle parfois une telle force, une force motrice.
  • Si la force \vec{F} est parallèle au déplacement \vec{u} mais orientée dans le sens opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une...), le travail W = \vec{F}\cdot\vec{u}, fourni par la force est négatif : d'après le théorème de l’énergie cinétique, la force a diminué l'énergie cinétique du système, celui-ci se déplace donc plus lentement. On appelle parfois une telle force, une force résistante.
  • Si la force \vec{F} est perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la généralisation de la notion de...) au déplacement \vec{u}, le travail de la force est nul W = 0 : la force n'a pas modifié l'énergie cinétique du système.

Ce dernier cas ne doit pas laisser penser qu'une force dont le travail est nul n'a aucun effet sur un système. Ainsi, dans le cas d'un solide en mouvement circulaire uniforme, la force centripète a un travail nul. Pour autant, si l'on supprime la force centripète, alors en vertu de la 1ère loi de Newton, le solide cessera son mouvement circulaire et se déplacera en mouvement rectiligne.

Mouvement circulaire uniforme
Mouvement circulaire uniforme.
La force centripète qui crée l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique, plus précisément en cinématique,...) du même nom est perpendiculaire au mouvement : son travail est nul.

Les forces dont le travail est nul ne modifient pas l'énergie cinétique du solide. En particulier, elles ne modifient pas la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus...) de la vitesse ; elles peuvent cependant en modifier la direction.

Le cas des forces conservatives : exemple du poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est égale à l'opposé...)

Les forces conservatives sont, par définition, des forces dont le travail ne dépend pas du chemin suivi. Le poids en est un exemple.

Considérons un corps de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à...) m se déplaçant de A vers B dans un repère galiléen \left (O,\vec{x},\vec{y},\vec{z} \right ), l'axe \vec{z} étant supposé vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.) et dirigé dans le sens opposé de la gravité : \vec{g}=-g\vec{z}. Dans ce cas, le travail du poids vaut :

W = \vec{P}\cdot \vec{AB} = m\vec{g}\cdot\vec{AB}= -mg\vec{z}\cdot\vec{AB}

Si l'on note \left ( x_A,y_A,z_A \right ) les coordonnées cartésiennes du point A dans ce repère et \left ( x_B,y_B,z_B \right ) celles de B alors les coordonnées des vecteurs \vec{P} et \vec{AB} dans le repère galiléen sont les suivantes :

\vec{P}=-mg\vec{z}

\vec{AB}=\left ( x_B-x_A \right )\vec{x}+\left ( y_B-y_A \right )\vec{y}+\left ( z_B-z_A \right )\vec{z}

et, par définition du produit scalaire, le travail du poids se simplifie de la façon suivante :

W=\vec{P}\cdot \vec{AB} = mg \left ( z_A-z_B \right )

Le travail du poids d'un corps est donc indépendant du chemin suivi lors de son déplacement, il ne dépend que de la variation d'altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau de base. C'est une des composantes géographique et biogéographique qui explique la répartition de la vie sur terre.) du centre de gravité (Le centre de gravité est le point d'application de la résultante des forces de gravité ou de pesanteur. Il est également le point d'intersection de...) de ce corps.

Exemple

Pour monter debout sur une chaise de 50 centimètres de haut, une personne de masse 80 kg doit effectuer un travail correspondant à celui de son poids (F = m.g) sur une distance de 50 cm, soit un travail de m.g.h où la masse m vaut 80 kg, g est l'accélération de la gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) (9,81 m / s2) et h vaut 1/2 m. Le travail effectué, correspondant à l'énergie mécanique (L'énergie mécanique est une quantité utilisée en mécanique classique pour désigner l'énergie d'un système emmagasinée sous forme d'énergie...) dépensée, vaut donc 400 J.

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