Commutateur (opérateur)
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En mathématiques

En mathématiques, le commutateur donne une idée assez imprécise, sur la façon dont une loi n'est pas commutative. Il existe plusieurs définitions utilisées en théorie des groupes et en théorie des anneaux.

En théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance...) des groupes

Soit (G, \star) un groupe et soient g et h deux éléments du groupe. On appelle commutateur de g et h, l'élément du groupe, défini par: [g,h]=g\star h \star g^{-1}\star h^{-1}.

Remarque: Un commutateur représente en fait le défaut de " permutabilité " de deux éléments du groupe.

Proposition: Le commutateur est égal à l'élément neutre du groupe si et seulement si g et h sont permutables (c'est-à-dire si g\star h=h\star g).

D'autre part, le sous-groupe engendré par l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des commutateurs est appelé le groupe dérivé noté D(G) ou le sous-groupe des commutateurs de G.

Si D(G) est réduit à l'élément alors le groupe G est un groupe abélien.

Remarquons que nous devons considérer le sous-groupe engendré par les commutateurs parce qu'en général l'ensemble des commutateurs n'est pas fermé pour cette loi. Les commutateurs sont utilisés pour définir les groupes nilpotents.

Note: Certains auteurs préfèrent définir g et h par

[g, h] = g\star h\star g^{-1} \star h^{-1}

Identités

Dans la suite, la loi \star est notée multiplicativement et l'expression ax désigne le conjugué (En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire opposée.) (par x) de l'élément a c'est-à-dire x−1a x.

  • [y,x] = [x,y] −1
  • [[x,y−1],z] y [[y,z−1],x] z [[z,x−1],y]x = 1
  • [xy,z] = [x,z]y [y,z]
  • [x,yz] = [x,z] [x,y]z

Le deuxième identité est aussi connue sous le nom d' identité de Hall-Witt. Il s'agit d'une identité de la théorie des groupes analogue à l'identité de Jacobi de la théorie des commutateurs dans les anneaux. (Voir la section suivante.)

En théorie des anneaux (En mathématiques, la théorie des anneaux s'occupe d'anneaux.)

Le commutateur de deux éléments a et b d'un anneau ou d'une algèbre associative (En mathématiques, une algèbre associative est un espace vectoriel dans lequel est aussi définie une multiplication des vecteurs, qui possède les propriétés de distributivité et d'associativité.) est défini par

[a,b] = abba

Il est nul si et seulement si a et b sont permutables. En algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires et des systèmes...), si deux matrices commutent relativement à une base, alors elles commutent relativement à toute base.

En utilisant le commutateur comme un crochet de Lie, toute algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les...) associative peut être considérée comme une algèbre de Lie. Le commutateur de deux opérateurs sur un espace de Hilbert (Un espace de Hilbert est un espace de Banach (donc complet) dont la norme découle d'un produit scalaire ou hermitien par la formule . C'est la généralisation en dimension quelconque d'un espace euclidien ou hermitien.) est un concept important en mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous...) puisqu'il mesure à quel point (Graphie) deux descriptions d'observables par des opérateurs peuvent être mesurés simultanément. Le principe d'incertitude est finalement un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème...) sur les commutateurs.

De même, l'anticommutateur est défini comme ab + ba, souvent écrit noté {a,b}. Voir aussi algèbre de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps est le plus...).

Identités

Un commutateur vérifie les propriétés suivantes:

Relation d'algèbre de Lie:

  • [a,b] = − [b,a]
  • [a,a] = 0
  • [a,[b,c]] + [b,[c,a]] + [c,[a,b]] = 0

Relations d'addition:

  • [a,bc] = [a,b]c + b[a,c]
  • [ab,c] = a[b,c] + [a,c]b
  • [a,bc] = [ab,c] + [ca,b]
  • [abc,d] = ab[c,d] + a[b,d]c + [a,d]bc

Si a est un élément donné d'un anneau A, la première relation d'addition peut aussi être interprétée comme la règle de dérivation d'un produit d'une application D_a:A\rightarrow A donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) par b \mapsto  [a,b] \ . En d'autres termes, l'application Da définit une dérivation sur l'anneau A.

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