Dimension topologique
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On donne ici la définition classique, par récurrence, de la dimension topologique d'un espace métrisable à base dénombrable E. Si E est vide, sa dimension vaut -1 par convention ; sinon on pose :

  • 0) L'espace E est de dimension 0 si sa topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) admet une base de parties à la fois ouvertes et fermées (clopen en anglais), soit encore une base de parties à frontière (Une frontière est une ligne imaginaire séparant deux territoires, en particulier deux États souverains. Le rôle que joue une frontière peut fortement varier suivant les régions et les époques. Entre les pays...) vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) (ou de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son...) -1). On dit aussi que E est totalement discontinu.
  • 1) L'espace E est au plus de dimension 1 si sa topologie admet une base d'ouverts à frontière de dimension au plus 0.
  • \vdots
  • n) L'espace E est de dimension au plus n si sa topologie admet une base d'ouverts à frontière de dimension au plus n-1.

Enfin l'espace E non vide est dit de dimension n s'il est de dimension au plus n mais n'est pas de dimension au plus n-1, et de dimension infinie s'il n'existe pas de n tel qu'il soit de dimension au plus n.

L'ensemble de Cantor (L'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le...) (ou l'espace de Cantor (On appelle espace de Cantor l'espace produit . C'est un espace compact métrisable à base dénombrable (en fait, pour un espace compact, être métrisable ou être à base dénombrable...) qui lui est homéomorphe) est un espace compact (En topologie de la droite réelle, la propriété de Borel-Lebesgue est une propriété topologique remarquable des segments, basée sur la notion de recouvrement. Elle sert d'axiome en topologie...) de dimension 0 ; l'espace NN est le parangon des espaces polonais de dimension 0. Un arc de Jordan rectifiable dans Rn est de dimension 1, une portion de surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu...) régulière est de dimension 2, etc. Comme il se doit la dimension de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ouvert non vide de Rn est n.

La dimension introduite ci-dessus, à valeur entière, est une notion topologique alors que la notion de dimension de Hausdorff, à valeur réelle, est métrique, et dépend fortement de la distance utilisée. Il existe cependant une belle relation entre les deux quand E est un espace compact métrisable :

La dimension topologique de E est le minimum des dimensions de Hausdorff de E pour toutes les distances sur E compatibles avec sa topologie.
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