Démonstration du théorème de Fermat
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Enoncé

On rappelle que le théorème de Fermat s'énonce ainsi :

Un entier premier impair n est la somme de deux carrés entiers si et seulement s'il est congru à 1 modulo 4.

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un...)

Elle s'appuie sur deux lemmes :

Lemme 1

Si n est un entier premier impair, le groupe Z/nZ* contient exactement (n-1)/2 carrés, et ce sont les racines du polynôme P(x) = x^{\frac {n-1} {2}} - 1

Preuve

Le morphisme du groupe multiplicatif (Z/nZ)* qui a x associe x² a pour image l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des carrés et pour noyau {1, -1}. Il existe donc une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans...) entre l'ensemble des carrés et (Z/nZ)*/{1, -1}, dont le cardinal est (n-1)/2.

En outre, si x = y² est un carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses...), par le petit théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Fermat, nous avons y^{n-1} \equiv 1 (n), donc : x^{(n-1)/2} \equiv 1 (n), et x est une racine de P(x) = x(n − 1) / 2 − 1. Mais ce polynôme, de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) (n-1)/2, possède au plus (n-1)/2 racines. QED (CQFD (ou c.q.f.d.[1]) est l'abréviation de « ce qu'il fallait démontrer », ponctuant, comme un repère visuel, la fin des démonstrations mathématiques et indiquant ainsi que le résultat...).

Lemme 2

Il s'énonce ainsi : Pour tout réel ξ et tout réel H > 1, il existe un couple (p, q) d'entiers tels que q < H et |qξ - p| ≤ 1/H

Preuve

Supposons H entier. Les H+1 réels {0, ξ - [ξ], 2ξ - [2ξ], 3ξ - [3ξ]…, 1} où [α] désigne la partie entière (En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière suivante :) de α sont tous compris entre 0 et 1. Donc au moins deux d'entre-eux ont une distance inférieure à 1/H. Si ces deux réels sont iξ - [iξ] et i'ξ - [i'ξ] avec i < i', alors q = i' - i et p = [i'ξ] - [iξ] donne :

0 < q < H et |qξ - p| = |i'ξ - iξ - [i'ξ] + [iξ]| ≤ 1/H.

On vérifie que l'inégalité est également vraie si l'un des deux réels est égal à 1.

Si H n'est pas entier, on applique le raisonnement sur [H] + 1. Comme q est entier, q < [H] + 1 implique q < H, CQFD.

Raisonnement

Condition nécessaire

Si n est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) impair somme de deux carrés, alors nécessairement ces carrés sont de parité différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application...). Le carré pair est nécessairement multiple de 4, donc congru à 0 modulo ( En arithmétique modulaire, on parle de nombres congrus modulo n Le terme modulo peut aussi être associé à d'autres formes de congruence En informatique, le modulo (informatique) est une fonction qui au couple (a, b) d'entiers associe...) 4. L'autre carré est le produit d'un nombre congru à 1 ou 3 modulo 4, donc son carré est nécessairement congru à 1 modulo 4.

Condition suffisante

Si n est congru à 1 modulo 4, l'égalité ( − 1)(n − 1) / 2 = 1 montre d'après le lemme 1 que -1 est un carré et donc qu'il existe un m tel que m^2 \equiv -1 (n).

Appliquons maintenant le lemme 2 avec ξ = m/n et H = √n. Il existe (p,q) tel que q < √n et |qm/n - p| ≤ 1/√n.

Posons r = qm - pn. Alors |r| ≤ √n, donc q² + r² < 2n.

En outre, q² + r² est congru à q² + q²m² = q(m² + 1) = 0 modulo n. Comme q² + r² < 2n, q² + r² = n, CQFD.

Page générée en 0.005 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique