Filtre (mathématiques)
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Definition générale

En mathématiques, un filtre est une partie F non vide d'un ensemble partiellement ordonné (P,≤) vérifiant les deux conditions suivantes:

  1. Pour tout x, y dans F, il existe z dans F, tel que z ≤ x et z ≤ y. (C'est une base de filtre (Un filtre est un système servant à séparer des éléments dans un flux.).)
  2. Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x dans F et y dans P, x ≤ y implique que y est dans F.

Le filtre F est propre ssi il n'est pas égal à P en entier.

Cas particuliers

Filtre sur un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble),...)

Un cas important est celui où P=P(E) est l'ensemble des parties d'un ensemble E, ordonné par l'inclusion:

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...)

F est un filtre sur E ssi

  1. E\in F\qquad(\iff F\ne\emptyset~)
  2. A,B\in F ~\Rightarrow~ A\cap B\in F
  3. A\in F ~\land~ A\subset B\subset E ~\Rightarrow~ B\in F
  4. \emptyset\notin F

Les filtres sont la structure naturelle pour définir la notion de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :) en topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni...).

Exemple

L'ensemble de toutes les parties de E contenant une partie non vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) A de E (en particulier, un singleton A={x}), forme un filtre sur E, appelé filtre principal engendré par A.

Le filtre de Fréchet sur un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un nombre infini d'éléments. En d'autres termes, si E est un ensemble infini alors  : Le cardinal...) E est l'ensemble des parties de E ayant un complément fini dans E.

Un ultrafiltre est un filtre égal à sa grille ( Un grille-pain est un petit appareil électroménager. Une grille écran est un élément du tube de télévision. Une grille d'arrêt est un...).

Base de filtre

Si B est une partie de P(E) ne contenant pas l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) et telle que toute intersection finie contient un élément de B non vide, il existe un unique filtre minimal F contenant B, appelé filtre engendré par B.

Si B contient toute intersection finie de ses éléments, alors F est égal à l'ensemble des sur-ensembles des éléments de B, et B est une base de filtre pour F.

C'est la structure élémentaire pour définir des limites : Une fonction (en particulier une suite) f à valeurs dans un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les...) E admet L comme limite suivant la base de filtre B, ssi pour tout voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en tout point. En...) V de L, il existe A dans B, tel que la restriction de f à A soit à valeurs (c-à-d. f(A) soit inclu) dans V.

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