Genre (mathématiques)
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Topologie

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Le genre d'une courbe algébrique, c'est-à-dire d'une surface (i.e. un espace topologique dont tout point possède un voisinage homéomorphe au plan) connexe, est le nombre maximum de courbes fermées simples sans points communs pouvant être tracées à l'intérieur de cette surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est...) sans la déconnecter. Autrement dit, dans le procédé de détermination du genre, le complément de ces courbes reste connexe.

Plus concrètement, si l'on considère que la surface est en papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme de feuilles minces et...), le genre est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) maximal de découpages fermés faisables sans que la surface ne soit séparée en plusieurs morceaux.

C'est une notion de topologie : deux surfaces n'ayant pas le même genre ne sont pas homéomorphes.

Exemples

  • Une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les...) et un disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) ont un genre de 0.
  • Un tore (Le terme tore a essentiellement deux acceptions distinctes, suivant les usages :) a un genre de 1.

Courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les...) non-singulière

Le genre d'une courbe non-singulière dans l'espace projectif \mathbb P^2(\mathbb C) est défini par g = (n − 1)(n − 2) / 2 où la courbe est définie par un polynôme (En mathématiques, un polynôme est la combinaison linéaire des puissances d'une variable, habituellement notée X. Ces objets sont largement utilisés en...) irréductible de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) n, p(x,y) = 0.

Exemples

  • Une courbe elliptique a un genre de 1.

Théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des nœuds

Le genre d'un nœud est la moitié du nombre minimal d'anses qu'il est nécessaire d'ajouter à la sphère afin de pouvoir tracer une ligne de découpe à sa surface avec le nœud, afin que celle-ci se divise en deux lors de la découpe.

Exemples

  • Un nœud de trèfle (Les trèfles sont des plantes herbacées de la famille des Fabacées (Légumineuses), appartenant au genre Trifolium.) est de genre 1.
  • Un nœud trivial est de genre 0.

Théorie des graphes (Le terme de graphe désigne en mathématiques une opération d'application. Il possède deux acceptions :)

Le genre d'un graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) est le plus petit entier p pour que le graphe soit représentable sur une surface orientable de genre p.

Exemples

  • Les graphes planaires sont de genre 0.
  • Le graphe des puits des trois maisons est de genre 1.
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