Groupe topologique - Définition

On appelle groupe topologique tout groupe (G,*) muni d'une topologie satisfaisant aux conditions suivantes:

• L'application ( est continue
• L'application est continue

Exemples de base

• Le groupe additif

On peut montrer qu'un sous-groupe de est soit dense, soit de la forme , pour un unique .

• Le cercle , qui peut être condidéré comme le groupe

multiplicatif des nombres complexes de module ou comme le groupe des rotations de centre fixé dans un plan euclidien. Tout sous-groupe est soit fini soit dense.

• Un exemple plus sophistiqué est

Ce groupe est homéomorphe à l'ensemble de Cantor. Pour le voir, on a besoin de la notion de produit infini d'espaces topologiques.

Quelques propriétés générales

• Dans un groupe topologique, les translations

et sont des homéomorphismes.

• La topologie est déterminée par

la donnée des voisinages de l'élément neutre.

• Un groupe topologique est séparé si et seulement si

est fermé dans , ou, ce qui revient au même, si tout point est une partie fermée. La condition est évidemment nécessaire. Pour voir qu'elle est suffisante, notons qu'en raison de la continuité de la multiplication, pour tout ouvert contenant l'élément neutre, il en existe un autre, que nous noterons , tel que . Quitte à remplacer par , on peut supposer que . Si , on applique cette remarque à . Alors et sont deux ouverts disjoints contenant et respectivement.

• Si est une partie ouverte et une partie quelconque,

et sont ouverts, puisque par exemple .

Dorénavant, nous omettrons le signe .

Groupes linéaires

Une classe importante de groupes topoloqiques est formée par les sous-groupes du groupe linéaire , avec ou . On les munit de la topologie induite par celle de .

Ces exemples sont des exemples fondamentaux de groupes de Lie réels ou complexes.

Ils ont en commun la propriété suivant : il existe un ouvert contenant l'élement neutre et ne contenant aucun sous-groupe non trivial.

Topologie p-adique

Si (G,+) est un groupe abélien, si (G_n) est une suite de sous-groupes de G telle que:

Alors la suite (G_n) induit une topologie sur G dans laquelle les voisinages de x sont les ensembles x+ G_n.

Si de plus, l'intersection des G_n est réduite à {0} où 0 est l'élément neutre de G, le groupe est séparé.

Un cas particulier de groupe topologique de cette forme est le groupe muni de la topologie p-adique: Si p est un entier naturel, la suite (G_n) est définie par G_n = pⁿG . (on rappelle que, pour tout entier naturel k et tout élément x de G, l'élément kx est défini par kx = x + x + ... + x (où x apparait k fois)

Distance induite

On peut définir une distance sur (G, +) muni de la topologie induite par (G_n) si l'intersection des G_n est bien réduite à {0}:

où k est le premier entier tel que x - y n'appartient pas à G_k.

d(x,y) = 0 si pour tout entier k,

Complété

Si (G,+) est un groupe abélien séparé muni de la topologie déterminée par la suite (G_n), on peut définir dans G des suites de Cauchy

(x_n) est de Cauchy si et seulement si, pour tout voisinage V(0) de 0, il existe un entier n tel que

pour tout ,

Sur cet ensemble de suites S_C(G), on peut définir une relation d'équivalence :

L'ensemble quotient S_C(G) est alors espace complet.

Le groupe G est alors isomorphe à un sous-groupe dense de S_C(G).

L'exemple le plus important d'une telle construction est celui des nombres p-adiques : on fait cette construction à partir de et de la multiplication par un nombre premier .