Groupe topologique
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On appelle groupe topologique tout groupe (G,*) muni d'une topologie satisfaisant aux conditions suivantes:

  • L'application (x , y) \to x * y est continue
  • L'application x \to x^{-1} est continue

Exemples de base

  • Le groupe additif \mathbb{R}\,

On peut montrer qu'un sous-groupe de \mathbb{R}\, est soit dense, soit de la forme a\mathbb{Z}\,, pour un unique a\ge 0\,.

  • Le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle....) S^1\,, qui peut être condidéré comme le groupe

multiplicatif des nombres complexes de module 1\, ou comme le groupe des rotations de centre fixé dans un plan euclidien. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) sous-groupe S^1\, est soit fini soit dense.

  • Un exemple plus sophistiqué est \big(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\big)^\mathbb{N}\,

Ce groupe est homéomorphe à l'ensemble de Cantor (L'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor.). Pour le voir, on a besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les...) de la notion de produit infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) d'espaces topologiques.

Quelques propriétés générales

  • Dans un groupe topologique (On appelle groupe topologique tout groupe (G,*) muni d'une topologie satisfaisant aux conditions suivantes:), les translations

x\mapsto a*x\, et x\mapsto x*a\, sont des homéomorphismes.

  • La topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) est déterminée par

la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) des voisinages de l'élément neutre.

  • Un groupe topologique est séparé si et seulement si

\{e\}\, est fermé dans G\,, ou, ce qui revient au même, si tout point (Graphie) est une partie fermée. La condition est évidemment nécessaire. Pour voir qu'elle est suffisante, notons qu'en raison de la continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. En première approche, une fonction est continue si, à...) de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .), pour tout ouvert U\, contenant l'élément neutre, il en existe un autre, que nous noterons V\,, tel que V*V\subset U\,. Quitte à remplacer V\, par V\cap V^{-1}\,, on peut supposer que V=V^{-1}\,. Si x\not=e\,, on applique cette remarque à U=G\setminus x\,. Alors V\, et x*V\, sont deux ouverts disjoints contenant e\, et x\, respectivement.

  • Si U\, est une partie ouverte et A\, une partie quelconque,

U*A\, et A*U\, sont ouverts, puisque par exemple U*A= \cup_{a\in A}U*a\,.

Dorénavant, nous omettrons le signe *\,.

Groupes linéaires

Une classe importante de groupes topoloqiques est formée par les sous-groupes du groupe linéaire Gl(n,K)\,, avec K=\mathbb{R} ou \mathbb{C}. On les munit de la topologie induite par celle de End(K^n)\,.

Ces exemples sont des exemples fondamentaux de groupes de Lie réels ou complexes.

Ils ont en commun la propriété suivant : il existe un ouvert contenant l'élement neutre et ne contenant aucun sous-groupe non trivial.

Topologie p-adique

Si (G,+) est un groupe abélien, si (Gn) est une suite de sous-groupes de G telle que:

G = G_0\supset G_1 \supset G_2\supset  ....\supset G_n \supset ...

Alors la suite (Gn) induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer...) une topologie sur G dans laquelle les voisinages de x sont les ensembles x+ Gn.

Si de plus, l'intersection des Gn est réduite à {0} où 0 est l'élément neutre de G, le groupe est séparé.

Un cas particulier de groupe topologique de cette forme est le groupe muni de la topologie p-adique: Si p est un entier naturel, la suite (Gn) est définie par Gn = pnG . (on rappelle que, pour tout entier naturel k et tout élément x de G, l'élément kx est défini par kx = x + x + ... + x (où x apparait k fois)

Distance induite

On peut définir une distance sur (G, +) muni de la topologie induite par (Gn) si l'intersection des Gn est bien réduite à {0}:

d(x,y)= \frac{1}{2^k}k est le premier entier tel que x - y n'appartient pas à Gk.
d(x,y) = 0 si pour tout entier k, x - y \in G_k

Complété

Si (G,+) est un groupe abélien séparé muni de la topologie déterminée par la suite (Gn), on peut définir dans G des suites de Cauchy

(xn) est de Cauchy si et seulement si, pour tout voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en...) V(0) de 0, il existe un entier n tel que
pour tout m \geq n, x_m-x_n \in V(0)

Sur cet ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de suites SC(G), on peut définir une relation d'équivalence :

(x_n) R (y_n) \Leftrightarrow \lim (x_n-y_n)=0

L'ensemble quotient SC(G) est alors espace complet (En mathématiques, un espace métrique M est dit complet ou espace complet si toute suite de Cauchy de M a une limite dans M (c’est-à-dire qu'elle converge dans M). La propriété de complétude dépend de la...).

Le groupe G est alors isomorphe à un sous-groupe dense de SC(G).

L'exemple le plus important d'une telle construction est celui des nombres p-adiques : on fait cette construction à partir de \mathbb{Z}\, et de la multiplication par un nombre premier (Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs (qui sont alors 1 et lui-même). Cette définition exclut 1, qui n'a...) p\,.

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