Théorie des tresses
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La théorie des tresses est l'étude des tresses, objet mathématique formalisant ce qu'on appelle tresse dans la vie courante.

Définition

Exemple de tresse à trois brins
Exemple de tresse à trois brins

Soit A = \left\{a_1, ..., a_n\right\} un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) de n points de \mathbb{D} = disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) unité ouvert de \mathbb{C}.

On appelle brin le graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) d'une application b continue de I=\left[0,1\right] dans le disque unité ouvert de \mathbb{C}, dont les extrémités b(0) et b(1) appartiennent à A.

On appelle tresse à n brins la réunion (La Réunion est une île française du sud-ouest de l'océan Indien située dans l'archipel des Mascareignes à environ 700 kilomètres à l'est de Madagascar et à 170 kilomètres au...) de n brins disjoints.

Reformulation

Géométriquement on projette la représentation 3D d'une tresse dans le plan. On obtient ainsi un diagramme (Un diagramme est une représentation visuelle simplifiée et structurée des concepts, des idées, des constructions, des relations, des données statistiques, de l'anatomie etc. employé dans tous les aspects...) de tresse. Afin de ne pas perdre d'information vis-à-vis de l'espace en 3 dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) il faut indiquer, lorsque deux brins se croisent, lequel passe devant l'autre.

Image:tresse1b.png

L'ordre d'arrivée des brins est différent de l'ordre départ. Les positions ont subi une transformation ; ici il s'agit de la permutation (En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre,...) de (1 4 3). L'étude des tresses est liée à l'étude des permutations et offre une donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) supplémentaire en ajoutant une idée de chemin (ordre des opérations effectuées dans la transformation) inexistante dans les permutations. À chaque diagramme de tresses de n brins on associe une permutation de \{1, \ldots ,n\} et à chaque permutation de \{1, \ldots ,n\} on associe plusieurs diagrammes de tresse.

Ceci nous amène à introduire une tresse particulière, la tresse triviale où aucun croisement n'a lieu entre les différents brins. Par exemple, voici le diagramme de la tresse triviale à quatre brins.

On veut munir l'ensemble des diagrammes de tresse d'une structure mathématique. Notons tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) d'abord que la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur...) des brins importe peu dans la structure de la tresse ; elle est totalement caractérisée par les croisements des brins et l'ordre dans lequel ces croisements sont effectués. Ainsi même s'ils n'ont pas la même longueur, deux diagrammes de tresse qui ont les mêmes croisements dans le même ordre sont considérés comme égaux.

Cela nous permet de munir l'ensemble des diagrammes de tresse d'une structure de monoïde, de la façon suivante :

On définit le produit de deux diagrammes de tresse ayant le même nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de brins n en opérant une concaténation (Le terme concaténation est issu du latin cum (avec) et catena (chaîne), il désigne l'action de mettre bout à bout deux chaînes.), i.e. en accrochant le second à la fin du premier ce qui donne un nouveau diagramme de tresse à n brins :

Image:tresse5.png

Ce produit est associatif mais non commutatif. On remarque de plus que le produit d'un diagramme de tresse β et du diagramme de la tresse triviale donne un diagramme de tresse identique au diagramme β. Ainsi le diagramme trivial est un élément neutre pour la concaténation.

L'ensemble des diagrammes de tresse à n brins muni de la concaténation est donc un monoïde. Notons le Tn.

Remarque

Pour que les diagrammes de tresses et leur produit correspondent aux permutations et leur composition il faut lire les diagrammes de tresses de bas en haut. Par exemple, le diagramme de tresses suivant a pour permutation (143).

Image:tresse1t.png

Ainsi prenons deux diagrammes de tresses b1 et b2 de permutation associée respective s1 et s2. Le produit b1b2 a pour permutation s_1\circ s_2.

Pour étudier les tresses, il faut les comparer vis-à-vis de leur chemin et de leur permutation associée. Dans un diagramme de tresses, certains croisements sont indépendants les uns des autres.

Image:tresse2b.png

Deux diagrammes de tresses sont dits 'isotopes' si on peut obtenir l'un à partir de l'autre en déplaçant les brins sans les " couper " et sans toucher (Le toucher, aussi appelé tact ou taction, est l'un des cinq sens de l'homme ou de l'animal, essentiel pour la survie et le développement des êtres vivants, l'exploration, la...) aux extrémités.

La relation d'isotopie sur Tn est une relation d'équivalence.

Notons que deux diagrammes de tresses isotopes représentent la même permutation, mais la réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est fausse : deux diagrammes ayant la même permutation associée ne sont pas nécessairement isotopes.

Image:tresse7.png

Groupe de tresses à n brins

En quotientant Tn par la relation d'isotopie on obtient une structure de groupe sur l'ensemble des diagrammes de tresses à n brins. On note Bn et on appelle 'groupe de tresse à n brins' le groupe ainsi obtenu. L'élément neutre étant bien évidemment la classe du diagramme trivial, l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...) d'un diagramme est le diagramme obtenu en prenant son image miroir (Un miroir est un objet possédant une surface suffisamment polie pour qu'une image s'y forme par réflexion et conçu à cet effet. C'est souvent une couche métallique fine, qui,...).

Image:TresseInv.ps

Image:tresse6.png

Image:tresse6b.png

Par simplification on appelle tresse à n brins un élément de Bn.

Groupe de tresses

On plonge Bn dans Bn + 1 en transformant les tresses à n brins en tresses à n + 1 brins de la manière suivante. On ajoute à droite un n + 1ème brins qui n'en croise aucun autre, comme on le voit dans l'exemple suivant:

Image:Plonge.png

On note B_{\infty} le groupe

B_{\infty}=\bigcup_{n\geq 0}B_n.

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