Cercle de Ford
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
Cercles de Ford : Un cercle est posé sur chaque fraction irréductible. Ceux-ci sont pour les fractions 0/1, 1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5. Chaque cercle sera tangent à la droite et aux cercles voisins. Les fractions avec le même dénominateur ont des cercles de même taille.
Cercles de Ford : Un cercle est posé sur chaque fraction irréductible. Ceux-ci sont pour les fractions 0/1, 1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5. Chaque cercle sera tangent à la droite et aux cercles voisins. Les fractions avec le même dénominateur ont des cercles de même taille.

En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les...), le cercle de Ford (En mathématiques, le cercle de Ford est le cercle de centre (p/q, 1/2q2) et de rayon 1/(2q2) associé à la fraction irréductible p/q, une fractions composée des termes entiers les...) est le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée...) de centre (p/q, 1/2q2) et de rayon 1/(2q2) associé à la fraction irréductible p/q, une fractions composée des termes entiers les plus petits premiers entre eux.

Histoire

Les cercles de Ford (Ford Motor Company, généralement appelée simplement Ford, est un constructeur automobile américain.) sont nommés ainsi en l'honneur du mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité...) américain Lester Ford (père), qui les a décrits dans un article publié dans American Mathematical Monthly en 1938.

Propriétés

Le cercle de Ford associé à la fraction irréductibe p/q est noté C[p/q] ou C[p, q]. Par extension, la droite d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les...) y = 1 est considérée comme un cercle de Ford — elle peut être assimilée à un cercle de Ford associé à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.), avec dans ce cas, p = 1, q = 0.

Deux cercles de Ford associés à deux fractions distinctes sont soit disjoints ou tangents. D'autre part, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) cercle de Ford est tangent à l'axe des abscisses. Si la fraction irréductible p/q est comprise entre 0 et 1, les cercles de Ford qui sont tangents à C[p/q] sont précisément ceux associés aux fractions qui sont les voisines de p/q dans certaines suites de Farey.

Les cercles de Ford peuvent aussi être assimilés à des courbes dans le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.). Le groupe modulaire des transformations du plan complexe transforme les cercles de Ford en d'autres cercles de Ford.

En interprétant la moitié supérieure du plan complexe comme un modèle du plan hyperbolique (le modèle du demi-plan de Poincaré), les cercles de Ford peuvent aussi être interprétés comme un pavage (Un pavage (ou dallage) est une partition d'un espace (généralement un espace euclidien comme le plan ou l'espace tridimensionnel) par un ensemble fini d'éléments appelé tuiles...) du plan hyperbolique. Deux cercles de Ford quelconques sont congrus en géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le...) hyperbolique. Si C[p/q] et C[r/s] sont des cercles de Ford tangents, alors le demi-cercle joignant (p/q, 0) et (r/s, 0) qui est perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin...) à l'axe des abscisses est une droite hyperbolique qui passe aussi par le point (Graphie) où les deux cercles sont tangents à un autre.

Les cercles de Ford forment un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y...) des cercles d'Apollonius généré par les droites y = 0 et y = 1 et le cercle C[0/1].

Page générée en 0.074 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique