Spirale d'Archimède
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Spirale d'archimède d'équation r=t/pi
Spirale d'archimède d'équation r=t/pi

La spirale d'Archimède est la courbe d'équation polaire suivante :

\rho= a \theta \,

La spirale d'Archimède est la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les...) décrite par un point (Graphie) en déplacement ( En géométrie, un déplacement est une similitude qui conserve les distances et les angles orientés. En psychanalyse, le déplacement est mécanisme de défense déplaçant la valeur, et finalement le sens En...) uniforme sur une droite en rotation elle-même uniforme autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter,...) d'un point. Le sillon (Le Sillon est un mouvement politique et idéologique français fondé par Marc Sangnier (1873 - 1950). Il vise à rapprocher le catholicisme de la République en offrant aux ouvriers...) des disques vinyles est une spirale (En mathématiques, une spirale est une courbe qui commence en un point central puis s'en éloigne de plus en plus, en même temps qu'elle tourne autour.) d'Archimède.

La spirale dessinée ci-contre est une spirale définie pour des angles positifs. La spirale d'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer...) r = − t / π définie pour des angles négatifs serait l'image de la précédente par une symétrie d'axe (Ox). Bref, elle aurait la même forme mais tournerait dans l'autre sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant...).

La courbe d'équation polaire :

\rho= a \theta +b \,

est aussi une spirale d'Archimède. C'est la spirale précédente ayant subi une rotation d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) -b/a.

Construction mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout...)

On peut envisager une construction mécanique d'une spirale d'Archimède en posant la feuille (La feuille est l'organe spécialisé dans la photosynthèse chez les végétaux supérieurs. Elle est insérée sur les tiges des plantes au niveau des nœuds....) de papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme de feuilles minces et...) sur un socle muni d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.) passant par O. Le crayon, lui, s'éloigne du centre O suivant un mouvement rectiligne uniforme. Les deux mouvements peuvent être liés par un système de vis sans fin.

Loi des aires

L'aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) balayée par un rayon sur l'intervalle [0;θ] est

\frac{a^2\theta^3}{6}

Attention, cela ne correspond pas à l'aire de la spirale car le rayon risque de balayer plusieurs fois la même portion de plan.

Problèmes célèbres

Trisection de l'angle

Une spirale d'Archimède permet de résoudre le problème de la trisection de l'angle : pour un angle θ donné, il est possible de construire à la règle et au compas l'angle θ / 3. Il suffit de repérer le point M de la spirale associé à l'angle θ, de construire un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant...) de centre O et de rayon OM/3. Ce cercle coupe la spirale en un point P associé à l'angle θ / 3.

Rectification du cercle

La rectification du cercle est une problème analogue à sa quadrature. Chercher la quadrature du cercle, c'est chercher le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la...) qui a la même aire qu'un cercle donné. Chercher la rectification du cercle c'est chercher une segment de droite qui a même longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet,...) que le périmètre (Le périmètre d'une figure plane est la longueur du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la...) du cercle. Dans l'un des cas (la quadrature) il s'agit de représenter \sqrt{\pi} par une longueur, dans l'autre cas (la rectification), il s'agit de représenter π par une longueur. La spirale d'Archimède permet de réaliser la seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui s'ajoute à quelque chose de nature identique. La seconde est une unité de mesure...) construction.

On utilise la propriété de la tangente à la spirale au point M associé à l'angle θ. On peut démontrer que l'angle α que fait cette tangente avec la droite (OM) n'est pas constant, comme c'est le cas dans une spirale logarithmique (La spirale logarithmique est la courbe d'équation polaire suivante :), mais varie en fonction de θ selon la loi suivante :

\tan(\alpha) = \theta \, .

Il suffit alors de tracer la tangente à la spirale au point M associé à π. Elle rencontre la droite (Oy) en P. On obtient alors le rapport

\pi = \frac{OP}{OM}

Problèmes non résolus

Les deux paragraphes précédents pourraient laisser croire qu'Archimède, grâce à sa spirale, aurait résolu les deux problèmes classiques de la trisection de l'angle et de la quadrature du cercle. Mais il n'en est rien. Les mathématiciens de l'époque cherchaient des méthodes de résolutions à la règle et au compas et méprisaient les résolutions mécaniques. C'est pourquoi la spirale d'Archimède n'a pas été considérée comme un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification...) de résolution et a été rejetée comme l'ont été d'autres quadratrices et d'autres trisectrices.

Il est à noter de plus que le tracé de la tangente à la spirale ne faisait que déplacer le problème.

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