Périmètre - Définition et Explications

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Introduction

Le périmètre du carré vaut ici 8.
Selon Homère, le périmètre de Troie était de 10 200 pas. (Photo des remparts supposés de Troie.)

Le périmètre d'une figure plane (La plane est un outil pour le travail du bois. Elle est composée d'une lame semblable à celle...) est la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) du bord de cette figure. Le calcul du périmètre sert par exemple à déterminer la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) de grillage nécessaire à la clôture (Une clôture désigne tout obstacle naturel ou fait de la main de l'homme (barrière) et suivant...) d'un terrain, le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de briques ou de pierres pour la construction d'un mur (Un mur est une structure solide qui sépare ou délimite deux espaces.), etc.

Pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) polygone (En géométrie euclidienne, un polygone (du grec polus, nombreux, et gônia, angle) est...), le périmètre vaut la somme des longueurs des côtés du polygone. Il existe des formules simples pour le calcul du périmètre des figures de base, mais le problème devient beaucoup plus ardu pour des figures plus complexes : il fait appel à des calculs d'intégrales ou de limites. Dans ce cas, une méthode consiste à approcher la figure complexe par d'autres, plus simples et mieux connues, pour obtenir une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) du périmètre voulu.

La question de savoir, pour un périmètre donné, quelle est la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) dont l'aire est maximale (ou isopérimétrie) a été posée très tôt et sa réponse seulement démontrée au XIXe siècle.

Le périmètre désigne aussi parfois la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...) qui est le bord d'une surface, plutôt que sa mesure. Le mot périmètre (du grec ancien : περίμετρος) est composé du préfixe péri- qui signifie « autour » et du suffixe -mètre : « mesure ».

Figures de base

Polygone

Un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des...) de largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit...) a et de longueur b.

Le cas des polygones est fondamental, non seulement par sa simplicité, mais aussi parce que de nombreux périmètres sont calculés, en valeur approchée, par une suite de polygones tendant vers ces courbes. Le premier mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute...) connu pour avoir utilisé ce raisonnement fut Archimède (Archimède de Syracuse (en grec ancien :...) qui approcha le périmètre d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) en l'encadrant par celui de polygones réguliers.

Le périmètre d'un polygone est égal à la somme des longueurs de ses côtés.

En particulier, un rectangle de dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) a et b a pour périmètre 2(a + b). Un polygone équilatéral est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur (un losange (Dans un espace affine normé, un losange, anciennement appelé rhombe, est un...) est un polygone équilatéral à quatre côtés). Pour calculer le périmètre d'un polygone équilatéral, il suffit de multiplier cette longueur par le nombre de côtés.

Un polygone régulier est souvent défini par son nombre de côtés et son rayon, c'est-à-dire la distance constante qui sépare son centre de chacun des sommets. Il est possible de calculer la longueur du côté par un raisonnement de trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...). Si R est le rayon d'un polygone régulier et n le nombre de ses côtés, son périmètre est :

2nR \sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right).

Ces méthodes sont résumées dans le tableau (Tableau peut avoir plusieurs sens suivant le contexte employé :) ci-dessous.

Périmètre de polygones
Polygone Formule Variables
Triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) a+b+c\; a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle.
Parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont...) 2(a+b)\; a et b sont les longueurs de deux côtés consécutifs.
Polygone équilatéral n\cdot a\; n est le nombre de côtés et a la longueur de chaque côté.
Polygone quelconque a_{1} + a_{2} + a_{3} + \ldots + a_{n} = \sum_{i=1}^{n}a_{i} ai est la longueur du ie (1er, 2e, 3e ... ne) côté d'un polygone à n côtés.
Polygone régulier convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le...) 2nR \sin\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right) n est le nombre de côtés et R la distance entre le centre du polygone régulier et chacun des sommets.

Circonférence d'un cercle

Si le diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre...) du cercle est 1, sa circonférence est π.

Le périmètre d'un cercle est proportionnel à son diamètre. C'est-à-dire qu'il existe une constante π (le p grec de périmètre) telle que, quel que soit un cercle de diamètre D et de périmètre P,

P = π D.

L'usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) du compas ayant favorisé l'utilisation du rayon R du cercle plutôt que de son diamètre, cette formule devient :

P = 2 π R.

Ces deux formules sont parfaitement équivalentes puisque, pour tout cercle, D = 2 R.

Il suffit, pour calculer le périmètre d'un cercle, de connaître son rayon ou son diamètre et le nombre π. Le problème est que ce nombre n'est pas rationnel (on ne peut pas l'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers) ni même algébrique (il n'est pas la racine d'un polynôme (Un polynôme, en mathématiques, est la combinaison linéaire des produits de...) à coefficients entiers). Obtenir une valeur approchée de π aussi précise qu'on le souhaite n'est donc pas évident. La recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue...) des décimales de π mobilise des connaissances en analyse, algorithmique (L'algorithmique est l’ensemble des règles et des techniques qui sont impliquées...) et informatique (L´informatique - contraction d´information et automatique - est le domaine...).

Le périmètre d'un cercle est souvent appelé circonférence, parfois longueur, le mot périmètre concernant plutôt le disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une...).

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