Tractrice
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Tractrice pour x et y positifs, T parcourt [Ox)
Tractrice pour x et y positifs, T parcourt [Ox)

En mathématique, une tractrice est une courbe plane parcourue par un point M lié à un point T par les conditions suivantes :

  • le point (Graphie) T parcourt une droite
  • la distance MT est fixe
  • la droite (MT) est tangente à la tractrice (En mathématique, une tractrice est une courbe plane parcourue par un point M lié à un point T par les conditions suivantes :)

L'histoire de la tractrice remonte au XVIIesiècle (Un siècle est maintenant une période de cent années. Le mot vient du latin saeculum, i, qui signifiait race, génération. Il a ensuite indiqué la durée d'une génération humaine et faisait 33 ans 4 mois (d'où peut...). Claude Perrault (Claude Perrault (Paris, 1613 - Paris, 1688) est un médecin et un architecte français. Il est célèbre pour avoir été l'architecte de la façade de l'aile est du...) rencontrant Leibniz vers les années 1670 lui aurait parlé d'un problème qu'il aurait posé déjà à de nombreux mathématiciens sans en obtenir de réponse satisfaisante. Posant sa montre à gousset (Voir aussi les montres à gousset.) sur la table, il la tire par la chaînette (En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à une force gravitationnelle uniforme (son...) en suivant avec l'extrémité de la chaînette une trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) rectiligne et demande quelle est la trajectoire suivie par la montre. Nous sommes alors au tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) début du calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique deux...) et des équations différentielles. Leibniz propose une mise en équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer...) mais la résolution proprement dite demande l'outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se...) des fonctions logarithmes ou des fonctions hyperboliques. De nombreux autres mathématiciens s'intéressent alors à cette courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les...) et proposent même des instruments permettant la construction mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou...) d'une tractrice. On peut imaginer une construction de la tractrice à l'aide d'une adaptation de la méthode d'Euler.

Propriétés

  • La tractrice est une développante de la chaînette.
  • Elle admet l'axe des abscisses comme asymptote (Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers l'infinitésimal. C'est...).
  • On l'appelle parfois courbe aux tangentes égales pour exprimer que la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur...) des segments de tangentes limités à la courbe et à l'asymtote est constante.

Construction graphique

Pour construire une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien...) d'une tractice entre les points M1 et M2 associés aux points T1 et T2, on divise le segment [T1T2] en n intervalles [titi+1] qui permettent de construire n+1 points m0, ..., mn de la tractrice (m0 = M1 et mn = M2) de proche en proche. Si r est la distance M1T1, on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du...) le segment [miti+1] et on place le point mi+1 sur ce segment et à une distance r de ti+1. Image:tractrice2.png

Résolution mathématique

Tractrice, position de M et T
Tractrice, position de M et T

En posant M(x(t), y(t)), cherchons les deux fonctions x et y vérifiant x(0) = 0, y(0) = a et vérifiant les conditions requises.

Dans le dessin ci-contre, elles se traduisent par

  • y2 + h2 = a2 pour MT = a
  • (h ; -y) est proportionnel à (x' ; y') car (MT) est tangente à la courbe.

Le problème revient donc à résoudre l'équation différentielle :

y^2 + \left(\frac{x'y}{y'}\right)^2 = a^2

dans laquelle il s'agit de choisir judicieusement les fonctions paramétrées.

y en fonction de x

En prenant x comme paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.), on obtient l'équation

y'^2 = \frac{y^2}{a^2-y^2}

Soit encore

y' = \pm\frac{y}{\sqrt{a^2-y^2}}

Qui n'est pas facile à résoudre.

Avec des fonctions trigonométriques

Si on se limite aux conditions x et y positifs ou nuls, avec comme conditions initiales x 0 = 0 et y 0 = a on peut poser

y = a \cos(t)\, avec t \in [0; \pi/2[

l'équation devient

a^2\cos^2(t) + x'^2(t)\frac{cos^2(t)}{1-cos^2(t)}= a^2

cette équation devient, après avoir isolé x'

x'(t) = a\frac{1-\cos^2(t)}{\cos(t)}
x'(t) = a\left(\frac{1}{\cos(t)}- \cos(t)\right)

En posant u(t) = sin(t), on obtient

x'(t) = a\left(\frac{u'(t)}{1 - u^2(t)}- u'(t)\right)

Qui s'intègre en

x(t) = a\left((\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+u(t)}{1 - u(t)}\right) - u(t)\right)

Donc

x(t) = a\left(\ln\left(\frac{1+\sin(t)}{\cos(t)}\right) - \sin(t)\right)

Puis, en remplaçant acos(t) par y

x = a\ln\left(\frac{a + \sqrt{a^2-y^2}}{y}\right) - \sqrt{a^2-y^2}

Avec des fonctions hyperboliques

Si on se limite aux conditions x et y positifs ou nuls, avec comme conditions initiales x 0 = 0 et y 0 = a on peut poser

y = \frac{a}{cosh(t)}

L'équation devient alors

\frac{a^2}{\cosh^2(t)} + x'^2(t)\frac{\cosh^2(t)}{\sinh^2(t)}=a^2

et après avoir isolé x'

x'(t) = a\frac{\sinh^2(t)}{\cosh^2(t)}= a\left(1-\frac{1}{\cosh^2(t)}\right)

qui s'intègre en

x(t) = a(t - \tanh(t))\,
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