En mathématique, une tractrice est une courbe plane parcourue par un point M lié à un point T par les conditions suivantes :
L'histoire de la tractrice remonte au XVIIesiècle. Claude Perrault rencontrant Leibniz vers les années 1670 lui aurait parlé d'un problème qu'il aurait posé déjà à de nombreux mathématiciens sans en obtenir de réponse satisfaisante. Posant sa montre à gousset sur la table, il la tire par la chaînette en suivant avec l'extrémité de la chaînette une trajectoire rectiligne et demande quelle est la trajectoire suivie par la montre. Nous sommes alors au tout début du calcul infinitésimal et des équations différentielles. Leibniz propose une mise en équation mais la résolution proprement dite demande l'outil des fonctions logarithmes ou des fonctions hyperboliques. De nombreux autres mathématiciens s'intéressent alors à cette courbe et proposent même des instruments permettant la construction mécanique d'une tractrice. On peut imaginer une construction de la tractrice à l'aide d'une adaptation de la méthode d'Euler.
Pour construire une approximation d'une tractice entre les points M1 et M2 associés aux points T1 et T2, on divise le segment [T1T2] en n intervalles [titi+1] qui permettent de construire n+1 points m0, ..., mn de la tractrice (m0 = M1 et mn = M2) de proche en proche. Si r est la distance M1T1, on trace le segment [miti+1] et on place le point mi+1 sur ce segment et à une distance r de ti+1.
En posant M(x(t), y(t)), cherchons les deux fonctions x et y vérifiant x(0) = 0, y(0) = a et vérifiant les conditions requises.
Dans le dessin ci-contre, elles se traduisent par
Le problème revient donc à résoudre l'équation différentielle :
dans laquelle il s'agit de choisir judicieusement les fonctions paramétrées.
En prenant x comme paramètre, on obtient l'équation
Soit encore
Qui n'est pas facile à résoudre.
Si on se limite aux conditions x et y positifs ou nuls, avec comme conditions initiales x 0 = 0 et y 0 = a on peut poser
l'équation devient
cette équation devient, après avoir isolé x'
En posant u(t) = sin(t), on obtient
Qui s'intègre en
Donc
Puis, en remplaçant acos(t) par y
Si on se limite aux conditions x et y positifs ou nuls, avec comme conditions initiales x 0 = 0 et y 0 = a on peut poser
L'équation devient alors
et après avoir isolé x'
qui s'intègre en