Hyperboloïde - Définition et Explications

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En mathématiques, un hyperboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de posséder un centre de symétrie et de s'étendre à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...).

Les sections non triviales d'un hyperboloïde (En mathématiques, un hyperboloïde est une surface du second degré de l'espace euclidien. Il fait...) avec un plan sont des paraboles, des ellipses ou des hyperboles. On distingue deux types d'hyperboloïdes, connexes ou non, chaque partie connexe s'appelant une nappe.

Le cône peut être vu comme une forme dégénérée d'hyperboloïde.

Hyperboloïde à une nappe

Hyperboloïde à une nappe
Hyperboloïde à une nappe

Dans un repère bien choisi, son équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) cartésienne est de la forme

{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=1

Le cas a = b fournit, en repère orthonormé, le cas particulier d'un hyperboloïde de révolution. L'axe de rotation doit être l'axe non transverse pour que la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) ne possède qu'une nappe. Les sections avec un plan perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en...) à l'axe de rotation sont alors des cercles.

Le dessin ci-contre utilise une hyperbole équilatère, alors a = b = c.

Un château d'eau de forme hyperboloïde - on aperçoit les renforcements rectilignes.
Un château (Un château est à l'origine une construction médiévale destinée à...) d'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les...) de forme hyperboloïde - on aperçoit les renforcements rectilignes.

On peut aussi générer cette surface par rotation d'une droite oblique autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne...) de l'axe. Cette propriété justifie que l'hyperboloïde à une nappe est une surface réglée. Cela permet, en pratique, la construction de certains châteaux d'eau et de certaines tours de refroidissement de centrales, ce qui leur assure une certaine stabilité.

Hyperboloïde à deux nappes

Hyperboloïde à deux nappes
Hyperboloïde à deux nappes

Dans un repère bien choisi, son équation cartésienne est de la forme

{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=-1

C'est la seule quadrique (En mathématiques, une quadrique, ou surface quadratique, est n'importe quelle surface de l'espace...) non connexe.

Le cas a = b fournit, en repère orthonormé, le cas particulier d'un hyperboloïde de révolution. L'axe de rotation doit être l'axe focal pour que la surface possède deux nappes. Les sections avec un plan perpendiculaire à l'axe de rotation sont alors des cercles.

Le dessin ci-contre utilise une hyperbole équilatère, alors a = b = c.

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