Axiome de l'infini
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En théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de l'infini est l'un des axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel. Il énonce qu'il existe un ensemble infini (En mathématiques, un ensemble est infini s'il n'est pas fini, c'est-à-dire s'il contient un nombre infini d'éléments. En d'autres termes, si E est un ensemble infini alors  : Le cardinal...).

Dans le langage formel (Dans de nombreux contextes (scientifique, légal, etc.) l'on désigne par langage formel un mode d'expression plus formalisé et plus précis (les deux...) de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en soi ») désigne une vérité...) s'écrit:

\exists\omega ( \empty\in\omega \wedge \forall x ( x\in\omega\Rightarrow x\cup\{ x\}\in\omega ) )

ou en d'autres termes: il existe un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) ω; tel que l'ensemble vide (En mathématiques, l'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément.) \empty appartienne à ω et tel que toutes les fois où x est un élément de ω, l'ensemble formé en prenant l'union de x avec son singleton {x} est également un élément de ω.

Pour comprendre cet axiome, appelons tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) d'abord x\cup\{ x\} le successeur de x. Notons que l'axiome de la paire (En mathématiques, l'axiome de la paire est l'un des axiomes de la théorie axiomatique des ensembles, plus précisément des théories des ensembles...) et l'Axiome d'extensionnalité nous permettent de construire le singleton {x}, et l'axiome de la réunion (Dans la théorie axiomatique des ensembles et dans les branches de la logique, des mathématiques, et de l'informatique, l'axiome de la réunion est l'un des axiomes de la...) nous sert à former l'union. Les successeurs sont utilisés pour définir et coder les entiers dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des nombres entiers naturels. Dans le codage (De façon générale un codage permet de passer d'une représentation des données vers une autre.) des entiers, zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des nombres en notation...) est l'ensemble vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) (0=\empty), et 1 est le successeur de 0 :

1=0\cup\{ 0\} =\empty\cup\{\empty\} =\{\empty\} =\{0\}

De même, 2 est le successeur de 1:

2=1\cup\{ 1\} =\{0\}\cup\{ 1\} =\{\empty ,\ \{\empty\}\} =\{0,\ 1\}

et ainsi de suite. Une conséquence de cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) est que chaque nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) entier est égal à l'ensemble de tous les nombres entiers qui le précèdent. Nous pourrions envisager de former, en utilisant ce procédé, l'ensemble de tous les nombres entiers naturels; mais il s'avère qu'en utilisant seulement ces axiomes la construction est impossible. L'axiome de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) assure l'existence de cet ensemble ω et il le définit par une méthode semblable à celle du raisonnement par récurrence, en supposant d'abord que ω contient zéro, puis en imposant que le successeur d'un quelconque élément de ω soit également dans ω.

Cet ensemble peut contenir d'autres éléments que les nombres entiers naturels (qui forment un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est aussi élément du sur-ensemble B. Il peut par contre y avoir des...) de ce premier), mais nous pouvons appliquer le schéma d'axiomes de compréhension pour retirer les éléments indésirables, libérant l'ensemble ω de tous les nombres entiers naturels. Cet ensemble est unique d'après l'axiome d'extensionnalité. Ainsi l'axiome affirme essentiellement que:

Il existe un ensemble contenant tous les nombres entiers naturels.

L'axiome de l'infini est également l'un des axiomes de von Neumann-Bernays-Gödel.

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