Conjecture abc
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La conjecture abc est une des conjectures les plus étudiées en théorie des nombres. Elle a été formulée pour la première fois par Joseph Oesterlé et David Masser en 1985. Si elle était vérifiée, elle permettrait comme nous allons le voir de démontrer aisément le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) de Fermat entre autres.

Formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits homogènes, stables et possédant des propriétés spécifiques, en mélangeant différentes matières premières (on...)

Soit ε > 0, alors il existe une constante Kε telle que, pour tous a,b,c entiers relatifs premiers entre eux vérifiant a + b = c, on ait: max(|a|,|b|,|c|)\le K_\epsilon N_0(abc)^{1+\epsilon}

N0(n) est le radical de n, c'est-à-dire le produit des nombres premiers divisant n.

Analogie avec les polynômes

L'idée de la conjecture abc (La conjecture abc est une des conjectures les plus étudiées en théorie des nombres. Elle a été formulée pour la première fois par Joseph Oesterlé et David Masser en 1985. Si elle était vérifiée, elle...) s'est formée par analogie avec les polynômes. Un théorème abc est en effet disponible pour les polynômes sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Il est aussi appelé théorème de Mason-Stothers et se formule ainsi:

Pour tous a,b,c polynomes premiers entre eux vérifiant a + b = c, on a: max(deg\{a,b,c\})\le  n_0(abc)-1

n0(P) est le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de racines distinctes de P.

Ce théorème permet de démontrer de manière aisée le théorème de Fermat pour les polynomes: l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des...) xn + yn = zn, x, y et z non constants n'a pas de solutions si n\ge 3.

La tentation est alors grande de trouver un analogue pour les entiers, car il permettrait de démontrer tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) aussi facilement le théorème de Fermat.

Une des principales conséquences: le théorème de Fermat

En fait, la conjecture (En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a encore pu démontrer ou réfuter.) abc ne permettrait pas exactement de montrer le théorème de Fermat, mais une version asymptotique dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) où on montre qu'il existe N tel que pour tout n\ge N, xn + yn = zn n'a plus de solutions entières. Ce N serait cependant explicite car comme nous allons le voir dépendant du Cε, explicitement donné par la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales,...) du théorème abc.

En prenant un ε quelconque (ou 1 pour fixer les idées), lorsque xn + yn = zn et qu'ils sont tous non nuls, on peut se ramener à ce qu'ils soient premiers entre eux en divisant par le pgcd des trois, et on a donc: |x|^n\le max(|x|^n,|y|^n,|z|^n)\le K_\epsilon N_0((xyz)^n)^{1+\epsilon} or N0((xyz)n) = N0(xyz)

donc, en écrivant la relation précédente pour | y | n et | z | n et en les multipliant toutes les trois, on obtient: |xyz|^n\le K_\epsilon^3 N_0(xyz)^{3(1+\epsilon)} et N_0(xyz)\le |xyz| donc |xyz|^{n-3(1+\epsilon)}\le K_\epsilon^3 or x, y et z sont tous non nuls et on vérifie aisément qu'ils ne peuvent être tous de valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) égale à 1, donc |xyz|\ge 2. Finalement, on obtient: 2^{n-3(1+\epsilon)}\le K_\epsilon^3, ce qui fournit une valeur limite à n dépendant explicitement de Kε.

Autres conséquences de la conjecture

La conjecture abc permettrait de prouver d'autres théorèmes importants en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une...) des nombres, parmi lesquels:

  • Le théorème de Roth
  • Le théorème de Baker
  • Le théorème de Bombieri
  • Le théorème de Falting précédemment nommé conjecture de Mordell
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