Axiome logique
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La méthode axiomatique permet de définir l'ensemble des lois logiques du premier ordre à partir d'axiomes logiques et de règles de déduction de telle façon que toutes les lois logiques soient ou bien un axiome ou bien une formule dérivée des axiomes avec un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) fini d'applications des règles de déduction.

Cette présentation, purement syntaxique, est équivalente à la présentation sémantique de la théorie des modèles (La théorie des modèles est une théorie de la vérité mathématique. Elle consiste essentiellement à dire qu’une théorie est mathématiquement valide si...), qui permet de définir une loi logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une première approche...) comme une formule vraie dans tous les mondes possibles. Cette équivalence fait l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il est défini...) d'un théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un...) de complétude (On parle de complétude en mathématiques dans des sens très différents. On dit d'un objet mathématiques qu'il est complet pour exprimer que rien ne peut...).

Les axiomes logiques des Principia Mathematica

Les lois logiques sont obtenues à l’intérieur du système de Whitehead et Russell (1910) à partir de six schémas d’axiomes et de deux règles de déduction, la règle de détachement et la règle de généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les...).

Les schémas d’axiomes

Ces schémas d’axiomes sont les suivants. p, q, et r peuvent être remplacées par des formules quelconques (avec ou sans variables libres) du calcul des prédicats (Le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, ou logique du premier ordre, ou tout simplement calcul des prédicats est une formalisation du langage des...) au premier ordre.

  • si (p ou p) alors p
  • si p alors (p ou q)
  • si (p ou q) alors (q ou p)
  • si (si p alors q) alors (si (p ou r) alors (q ou r))
  • si (tout x est tel que p) alors p’

où p’ est obtenu à partir de p en substituant une variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques,...) y, non liée dans p, à toutes les occurrences libres de x dans p.

  • si (tout x est tel que (p ou q)) alors (p ou tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) x est tel que q)

où p est une formule qui ne contient pas x comme variable libre

Les deux règles de déduction

La règle de détachement ou modus ponens dit que des deux prémisses p et (si p alors q) on peut déduire q.

La règle de généralisation dit que de l’unique prémisse p on peut déduire (tout x est tel que p)

Equivalence avec la déduction naturelle (La déduction naturelle est une façon d'exposer les principes de la logique du premier ordre pour les rendre aussi proches que possible des façons naturelles de...)

On peut prouver que toutes les vérités anhypothétiques, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution...) de la déduction naturelle, sont ou bien des axiomes obtenus à partir de ces schémas, ou bien des conséquences que l’on peut déduire en un nombre fini d’étapes à partir de ces axiomes avec les deux règles de déduction.

Toutes les preuves que l’on peut formaliser dans la déduction naturelle peuvent être formalisées dans le calcul logique (au premier ordre) de Whitehead et Russell et inversement.

Complétude du système

Gödel a prouvé un théorème de complétude qui affirme que ces six schémas d'axiomes et ces deux règles de déduction suffisent pour obtenir toutes les lois logiques.

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