Identité remarquable (mathématiques élémentaires)

On appelle identités remarquables, en mathématiques, les égalités suivantes (et d'autres égalités analogues). Elles s'obtiennent, grâce à la propriété de distributivité de la multiplication, en développant et factorisant des expressions.

Pour a et b deux nombres réels (ou plus généralement deux éléments d'un anneau commutatif quelconque), on a :

Second degré

• (a + b) = a + 2a**b + b
• (a − b) = a − 2a**b + b
• (a − b)(a + b) = a − b

Troisième degré

• (a + b) = a + 3a**b + 3a**b + b
• (a − b) = a − 3a**b + 3a**b − b
• a + b = (a + b)(a − a**b + b)
• a − b = (a − b)(a + a**b + b)

Les identités remarquables sont une sorte de formule magique pour rendre les factorisation plus simples. Bien connaître ses identités remarquables permet d'obtenir un gain de vitesse important ! Face à un problème de factorisation, il peut être utile de noter les identités remarquables sur un brouillon afin de pouvoir les comparer à l'expression à factoriser. Elles permettent aussi de simplifier considérablement des équations.

(a + b) = (a + b)(a + b) = a + a**b + b**a + b = a + 2a**b + b (grâce à la commutativité de la multiplication : a**b = b**a)

(a − b) = (a − b)(a − b) = a − a**b − b**a + b = a − 2a**b + b

(a − b)(a + b) = a + a**b − b**a − b = a − b

(a + b) = (a + b)(a + b) = (a + 2a**b + b)(a + b) = a + 2a**b + a**b + a**b + 2a**b + b = a + 3a**b + 3a**b + b

(a − b) = (a − b)(a − b) = (a − 2a**b + b)(a − b) = a − 2a**b + a**b − a**b + 2a**b − b = a − 3a**b + 3a**b − b

(a + b)(a − a**b + b) = a − a**b + a**b + a**b − a**b + b = a + b

L'identité avec (a − b) s'obtient de celle avec (a + b) en remplaçant b par -b.

1. Carré de somme ou de différence à la manière du livre II des Éléments d'Euclide et aussi (Maths élémentaire d'Euclide). La figure ci-contre permet de justifier les deux premiers éléments du formulaire.
2. On peut convenir que la figure représente un carré dont le côté est somme de deux valeurs a et b. Son aire vaut donc (a+b)². Mais elle s'obtient aussi par l'addition de l'aire du carré jaune (a²), des aires des rectangles bleus (ab pour chacun) et de l'aire du carré vert (b²).
3. On peut convenir aussi que a désigne le côté du grand carré et b le côté du carré jaune. L'aire du carré vert vaut donc (a-b)². Mais cette valeur peut s'obtenir en retranchant du grand carré d'aire a² deux rectangles jaunes et bleus d'aire ab et en rajoutant une fois b² car l'aire de ce carré jaune a été soustraite deux fois.