Suite géométrique
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En mathématique, on appelle suite géométrique une suite u définie sur \{n \in \mathbb N, n \geq n_0\} à valeurs dans un corps E, et telle qu'il existe un élément q de \ E appelé raison pour lequel :

\forall n \geq n_0 \ \ \ u_{n+1} =q.u_n \,

On dit alors que les termes \ u_n sont en " progression géométrique ".

Ces suites sont d'un réel intérêt pratique, dans de nombreux domaines. En pratique on s'occupe généralement de suites dans E = \R ou \mathbb C.

Exemple Si la raison \ q=1,1 et \ u_0=10 :

  • \ u_1=11
  • \ u_2=12,1
  • \vdots

Champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'applications

La suite géométrique (En mathématique, on appelle suite géométrique une suite u définie sur à valeurs dans un corps E, et telle qu'il existe un élément q de appelé raison pour...) est l'outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la simplification des actions...) privilégié pour l'étude de phénomène à croissance ou décroissance exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines...) et l'étude de populations dont la taille double ou diminue de moitié dans un intervalle de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) constant (période).

Exemple : Le carbone 14 (Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone, noté 14C.) 14C est un atome (Un atome (du grec ατομος, atomos, « que l'on ne peut diviser ») est la plus petite partie d'un corps simple pouvant se combiner chimiquement avec une autre....) radioactif dont la période ou demi-vie (La demi-vie est le temps mis par une substance (médicament, noyau radioactif, ou autres) pour perdre la moitié de son activité pharmacologique, physiologique ou radioactive. En particulier, la demi-vie est le...) est de T = 5730 ans (à 40 an près). Cela signifie que, en cas de fermeture (Le terme fermeture renvoie à :) d'un système (fin des échanges avec le monde (Le mot monde peut désigner :) extérieur), la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de...) de carbone (Le carbone est un élément chimique de la famille des cristallogènes, de symbole C, de numéro atomique 6 et de masse atomique 12,0107.) 14 diminue de moitié tous les 5730 ans.
Si N est la quantité de 14C dans le système, au bout de T années (T = 5730 ans), il n'existe plus que N/2 atomes de 14C . Au bout de 2T, il n'y a plus que N/4 atomes. Au bout de 3T, il ne reste plus que N/8 atomes. Si on appelle Nn la quantité d'atomes 14C au bout de n périodes, la suite (Nn ) est une suite géométrique de raison 1/2.

On la retrouve aussi dans le système bancaire avec le calcul des intérêts composés.

Exemple :Un capital C0 placé à 5% rapporte au bout d'un an 0,05 \times  C_0 d'intérêts. Ces intérêts ajoutés au capital nous donnent un nouveau capital C_1 = 1,05\times C_0 . En recommençant le processus chaque année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.), on crée une suite géométrique de raison 1,05 car C_{n+1} = 1,05 \times C_n

On la retrouve enfin, en musicologie, dans la suite des quintes (gamme pythagoricienne)

Elle est l'équivalent discret de la fonction exponentielle.

Terme général

Si E est un corps et si (u_n )_{n\in\mathbb N} est une suite géométrique de E de raison q\in E alors, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) n\in\mathbb N :

u_n = u_0 q^n\,

Plus généralement, si la suite est définie sur \{n \in \mathbb N, n \geq n_0\} et si n et p appartiennent à A et si q est non nul, alors :

u_n = u_p q^{n - p} \,

Une suite géométrique est donc entièrement déterminée par la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) de son premier terme u_{n_0} et par sa raison q.

Réciproquement, une suite définie sur \{n \in \mathbb N, n \geq n_0\} par

u_n = u_{n_0} q^{n - n_0} \,

est une suite géométrique de raison q.

Sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) de variation et convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :)

On supposera u_{n_0} et q non nul.

Sens de variation

Ce paragraphe concerne les suites géométriques à valeurs dans \R.

  • si q < 0\, la suite n'est pas monotone et oscille alternativement dans les nombres négatifs et positifs.
  • si q \in ]0 ; 1[
    • si u_{n_0}> 0 la suite est décroissante positive
    • si u_{n_0}< 0 la suite est croissante négative
  • si q \in ]1 ; + \infty[
    • si u_{n_0}> 0 la suite est croissante positive
    • si u_{n_0}< 0 la suite est décroissante négative
  • si q = 1\, la suite est constante.

Convergence

Dans \R

  • si q < -1\,, la suite diverge et ne possède pas de limite. Dans \bar{\R} les valeurs d'adhérence sont + \infty et -\infty.
  • si q = - 1\,, la suite diverge et possède deux valeurs d'adhérence u_{n_0} et - u_{n_0}
  • si |q| < 1\,, la suite converge vers 0
  • si q = 1\,, la suite est constante et converge vers u_{n_0}
  • si q > 1\,, la suite est divergente mais possède une limite égale à
    • + \infty pour u_{n_0}>0
    • - \infty pour u_{n_0}<0

Dans \mathbb{C}

  • si \left| q\right| <1, la suite converge vers 0.
  • si \left| q\right| >1, la suite est divergente.
  • si q = 1, la suite est constante et converge vers u_{n_0}.
  • si q \neq 1 et \left| q\right| = 1, la suite diverge.

Croissance comparée

Dans \R

On démontre que, pour tout entier n et tout réel t positif , (1 + t )^n \geq 1 + nt ce qui permet de dire qu'une suite géométrique de raison 1 + t et de premier terme a croît plus vite qu'une suite arithmétique (En mathématique, une suite arithmétique est une suite définie sur à valeurs dans un groupe additif E telle qu'il existe un élément de appelé raison pour lequel :) de raison at. Cependant, en pratique, pour des valeurs de t petite et des valeurs de n raisonnables les deux suites sont quasiment confondues.

Illustration a = 1000 et t = 0,004, at = 4

n suite arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l'appelle plus généralement la...) suite géométrique
0 1000 1000
1 1004 1004
2 1008 1008,016
3 1012 1012,048
4 1016 1016,1
5 1020 1020,2
6 1024 1024,2
7 1028 1028,3
8 1032 1032,5
9 1036 1036,6
10 1040 1040,7
11 1044 1044,9
12 1048 1049

Cette approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez significative pour être utile. Bien qu'une approximation soit le plus souvent...) permet aux banques de présenter (dans le cadre de taux d'intérêt faibles) pour le taux mensuel, le taux annuel divisé par 12 au lieu de prendre \sqrt(lien){1+t}-1

Somme des termes

Si E = \R ou \mathbb C et si (u_n )_{n\in\mathbb N} est une suite géométrique de raison q de E alors, pour tout n\in\mathbb N :

\sum_{p=m}^{p=n}u_p= \frac{u_m - u_{n+1}}{1 - q} = u_0\,q^m\,\frac{1 - q^{n+1-m}}{1 - q} pour q différent de 1
\sum_{p=m}^{p=n}u_p= (n-m+1) \, u_0 pour q = 1
  • Voir série géométrique, somme des premiers termes
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