En mathématique, on appelle suite géométrique une suite u définie sur à valeurs dans un corps E, et telle qu'il existe un élément q de appelé raison pour lequel :
On dit alors que les termes sont en " progression géométrique ".
Ces suites sont d'un réel intérêt pratique, dans de nombreux domaines. En pratique on s'occupe généralement de suites dans ou .
Exemple Si la raison et :
La suite géométrique (En mathématique, on appelle suite géométrique une suite u définie sur à valeurs dans un corps...) est l'outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son...) privilégié pour l'étude de phénomène à croissance ou décroissance exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus...) et l'étude de populations dont la taille double ou diminue de moitié dans un intervalle de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) constant (période).
On la retrouve aussi dans le système bancaire avec le calcul des intérêts composés.
On la retrouve enfin, en musicologie, dans la suite des quintes (gamme pythagoricienne)
Elle est l'équivalent discret de la fonction exponentielle.
Si E est un corps et si est une suite géométrique de E de raison alors, pour tout :
Plus généralement, si la suite est définie sur et si n et p appartiennent à A et si q est non nul, alors :
Une suite géométrique est donc entièrement déterminée par la donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) de son premier terme et par sa raison q.
Réciproquement, une suite définie sur par
est une suite géométrique de raison q.
On supposera et q non nul.
Ce paragraphe concerne les suites géométriques à valeurs dans .
Dans
Dans
Dans
On démontre que, pour tout entier n et tout réel t positif , ce qui permet de dire qu'une suite géométrique de raison 1 + t et de premier terme a croît plus vite qu'une suite arithmétique (En mathématique, une suite arithmétique est une suite définie sur à valeurs dans un groupe...) de raison at. Cependant, en pratique, pour des valeurs de t petite et des valeurs de n raisonnables les deux suites sont quasiment confondues.
Illustration a = 1000 et t = 0,004, at = 4
n | suite arithmétique (L'arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la...) | suite géométrique |
0 | 1000 | 1000 |
1 | 1004 | 1004 |
2 | 1008 | 1008,016 |
3 | 1012 | 1012,048 |
4 | 1016 | 1016,1 |
5 | 1020 | 1020,2 |
6 | 1024 | 1024,2 |
7 | 1028 | 1028,3 |
8 | 1032 | 1032,5 |
9 | 1036 | 1036,6 |
10 | 1040 | 1040,7 |
11 | 1044 | 1044,9 |
12 | 1048 | 1049 |
Cette approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) permet aux banques de présenter (dans le cadre de taux d'intérêt faibles) pour le taux mensuel, le taux annuel divisé par 12 au lieu de prendre
Si ou et si est une suite géométrique de raison q de E alors, pour tout :