Raisonnement par l'absurde
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Le raisonnement par l'absurde (du latin reductio ad absurdum) ou apagogie (du grec ancien apagôgê ) est une forme de raisonnement logique, philosophique, scientifique consistant soit à démontrer la vérité d'une proposition en prouvant l'absurdité de la proposition complémentaire (ou "contraire"), soit à montrer la fausseté d'une autre proposition en en déduisant logiquement des conséquences absurdes.

Apagogie positive

On parle d'apagogie positive ou de démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment...) par l'absurde simple quand la conclusion affirme la vérité d'une proposition, non en l'établissant directement par une démonstration tirée de la nature même de la chose, mais indirectement, en faisant voir que la proposition contraire est absurde. On conclut de la fausseté de l'une à la vérité de l'autre.

Par exemple, Spinoza démontre par l'absurde que " la production d'une substance est chose absolument impossible " (Éthique I, proposition VI, corollaire). En effet, si une substance pouvait être produite, la connaissance de cette substance devrait dépendre de la connaissance de sa cause (sachant que la connaissance de l'effet suppose celle de la cause) et ainsi elle ne serait plus une substance, puisqu'une substance est précisément ce qui est en soi et est conçu par soi.

Limites de ce mode de raisonnement

Ce raisonnement n'est légitime que lorsqu'il n'y a que deux propositions contradictoires possibles, dont l'une est nécessairement fausse si l'autre est vraie, et réciproquement ; autrement il dégénère en sophisme s'appuyant sur un faux dilemme. Ou alors, il faut effectivement prouver la fausseté de toutes les autres thèses alternatives : soit A, B ou C considérées comme hypothèses possibles, on prouve que B et C sont fausses, A est donc vraie (il s'agit classiquement de ce qu'on appelle aussi le raisonnement disjonctif (modus tollendo-ponens).

D'un point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) épistémologique, cette preuve reste toujours inférieure à la démonstration directe (Dans une démonstration directe, pour montrer que , on commence par supposer que P est vraie, et on en déduit qu'alors Q doit nécessairement être vraie.), parce que, si elle contraint l'esprit, elle ne l'éclaire pas et ne donne pas la raison des choses, comme le fait la preuve directe ou ostensive. Il est donc préférable de ne l'employer que quand on ne peut faire autrement : si, par exemple, dans la discussion, on a affaire à un contradicteur qui se refuse à toute preuve directe ou qui nie les principes. C'est le cas pour la réfutation de certaines doctrines, comme le scepticisme.

Application en mathématiques

La démonstration par l'impossible, usitée dans les mathématiques pour démontrer certains théorèmes qui ne sont pas susceptibles d'une autre preuve, rentre dans la preuve apagogique ; elle n'est pas admise par certains mathématiciens dits intuitionnistes, qui rejettent le principe du tiers exclu.

Admettons que nous ayons à démontrer une proposition p. La démarche consiste à montrer que l'hypothèse non p (i.e. que p est fausse) mène à une contradiction (Une contradiction existe lorsque deux affirmations, idées, ou actions s'excluent mutuellement.) logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est...). Ainsi p ne peut pas être fausse, et doit être a fortiori vraie.

Prenons un exemple simple, et considérons la proposition " il n'y a pas de plus petit nombre rationnel (Un nombre rationnel est un nombre réel exprimable par le quotient de deux entiers relatifs (), dont le second est non nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté .) strictement plus grand que 0 ". Dans un raisonnement par l'absurde, nous commençons par prendre la négation de la proposition : " il existe un plus petit nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) rationnel strictement positif, disons r0 ".

Maintenant soit x = r0/2. Alors x est un nombre rationnel, et est strictement plus grand que 0, et x est strictement plus petit que r0. Mais cela est absurde - contradictoire avec notre hypothèse initiale que r0 était le plus petit nombre rationnel. Ainsi nous pouvons conclure que la proposition d'origine est nécessairement vraie : il n'y a pas de plus petit nombre rationnel strictement plus grand que 0.

Il n'est pas rare d'utiliser ce type d'argument avec des propositions telles que celle ci-dessus, pour démontrer la non-existence de quelque objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette verbale. Il...) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...). Nous supposons que de tels objets existent, et ensuite nous démontrons que cela nous mène à une contradiction ; ainsi, de tels objets n'existent pas. Pour des exemples, voyez la démonstration que la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x½; dans cette expression, x est appelé le radicande.) de 2 est irrationnelle et la démonstration de la non dénombrabilité de l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) des réels de Cantor.

Il est important de noter que pour fournir une preuve valide, il doit être démontré que pour une proposition donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) p, non p implique une propriété qui est réellement fausse dans le système mathématique utilisé. Le danger ici est d'utiliser un sophisme, où nous montrons que non p implique une propriété q, qui semble fausse, mais qui n'est pas vraiment démontrée comme fausse. Les exemples historiques de cette erreur incluent la démonstration fausse du cinquième postulat d'Euclide (Euclide, en grec ancien Εὐκλείδης Eukleidês (né vers -325, mort vers -265 à Alexandrie) est un mathématicien de la Grèce antique ayant probablement vécu en...) de la droite parallèle (aussi connu comme le postulat de la parallèle) à partir des autres postulats. L'échec de ces démonstrations a par la suite mené à la géométrie non euclidienne (On nomme géométrie non euclidienne une théorie géométrique modifiant au moins un des axiomes postulés par Euclide dans les Éléments.).

Bien que l'on doive toujours préférer une démonstration directe, le raisonnement par l'absurde est largement employé dans les démonstrations mathématiques fondées sur la logique classique, cependant les mathématiciens intuitionnistes le récusent, en même temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) qu'ils récusent le tiers exclu. Pour eux, la démonstration que l'ajout de \neg p conduit à une contradiction ne permet pas de construire une démonstration de p, mais seulement de \lnot \lnot p, qui est plus faible.

En logique mathématique (La logique mathématique est née à la fin du XIXe siècle de la logique au sens philosophique du terme. Ses débuts furent marqués par la rencontre entre deux idées nouvelles :), la reductio ad absurdum est représentée par :

si
S \cup \{ \neg p \} \vdash F
alors
S \vdash p

Dans ce qui précède, \,p est la proposition que nous souhaitons démontrer et \,S est un ensemble d'assertions qui sont données comme vraies ; celles-ci pourraient être, par exemple, les axiomes de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou...) dans laquelle nous travaillons, ou des théorèmes que nous avons récemment établis et qui s'appuient dessus. Nous considérons la négation de \,p en plus de \,S; si ceci mène à une contradiction logique \,F, alors nous pouvons conclure que des propositions de \,S on déduit \,p.

Apagogie négative

En philosophie, la méthode apagogique ou réduction à l'absurde a une place plus importante dans le domaine de la réfutation des idées adverses. L'apagogie consiste alors à faire ressortir que la proposition à réfuter conduit à des conséquences absurdes car impossibles (contradictoires avec elles-mêmes ou avec d'autres principes admis comme vrais). Moins risqué que l'apagogie positive, ce mode de raisonnement n'affirme pas forcément que l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...) est vraie. Ainsi, on réfutera par exemple la proposition tout ce qui est rare est cher en indiquant que si c'était vrai, alors il s’ensuivrait qu’un cheval (Le cheval (Equus ferus caballus ou equus caballus) est un grand mammifère herbivore et ongulé appartenant à l'une des sept espèces de la...) bon marché, qui est chose rare, devrait en même temps être cher, ce qui est absurde, c’est-à-dire contradictoire dans les termes. La proposition " tout ce qui est rare est cher " est donc nécessairement fausse. Mais on n'affirme pas pour autant que "tout ce qui se trouve facilement est cher" ou que "tout ce qui est rare est bon marché" !

Moins rigoureusement, voire de façon sophistique, on se contentera de faire ressortir des conséquences funestes ou désagréables d'une thèse (Une thèse (du nom grec thesis, se traduisant par « action de poser ») est l'affirmation ou la prise de position d'un locuteur, à l'égard...) ou d'une doctrine (voir l'argumentum ad consequentiam).

Néanmoins il reste aussi préférable d'un point de vue logique de réfuter par l'analyse directe de la fausseté des principes. Aussi un usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) non critique de ce type de preuve peut être soupçonné d'appartenir plus à la dialectique éristique et à la rhétorique qu'à la philosophie proprement dite.

Trivia

" L'intelligence, c'est pas sorcier, il suffit de penser à une connerie et de dire l'inverse. " (Coluche)

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