Théorie des ensembles
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La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.

Les concepts de base de la théorie des ensembles sont les notions d'" élément ", d'" ensemble " et d'" appartenance ". On se donne au départ des objets de base. Ces objets de base peuvent être réunis pour former des ensembles, auxquels ils appartiennent : un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) peut ainsi être vu comme une collection d'objets, les éléments (ou membres) qu'il contient. Les ensembles peuvent aussi être vus comme des éléments supplémentaires permettant la création de nouveaux ensembles qui, à leur tour, pourront être réunis en ensembles, et ainsi de suite...

La théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques créée initialement par le mathématicien allemand Georg Cantor à la fin du XIXe siècle.) fut âprement controversée, d'abord en raison de la vision nouvelle de l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) mathématique (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les...) qu'elle proposait, au travers des cardinaux.

Ensuite, on découvrit que cette théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...), dite naïve car non formalisée, menait à des paradoxes tels que le paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une...) de Russell, parce qu'elle supposait que l'on pouvait réaliser n'importe quelle opération sur les ensembles, sans aucune restriction. Pour répondre à ces problèmes, plusieurs mathématiciens reconstruisirent la théorie des ensembles, en utilisant cette fois une approche axiomatique.

Ainsi, initialement disputée, la théorie des ensembles s'est transformée pour devenir une théorie fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) des mathématiques modernes : cette dernière est utilisée pour justifier les suppositions faites en mathématiques concernant l'existence d'objets mathématiques, tels que les nombres ou les fonctions, et leurs propriétés.

Toutefois, la théorie initiale de Cantor, avec quelques aménagements, est demeurée intéressante en raison de ses aspects intuitifs, et c'est pourquoi, actuellement, on sépare la théorie des ensembles en deux parties : le domaine de la théorie naïve des ensembles (Les ensembles sont d'une importance fondamentale en mathématiques; en fait, de manière formelle, la mécanique interne des mathématiques (nombres, relations, fonctions, etc.)...) et celui de la théorie axiomatique des ensembles (Il existe plusieurs versions formelles de la théorie des ensembles, mais quand on parle de « la » théorie axiomatique des ensembles, on...).

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