Les hypergraphes sont des objets mathématiques généralisant la notion de graphes. Ils ont été nommés ainsi par Claude Berge en 1960.
Les hypergraphes généralisent la notion de graphe dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but...) où les arêtes ne relient plus un ou deux sommets, mais un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) quelconque de sommets (compris entre un et le nombre de sommets de l’hypergraphe). De nombreux théorèmes de la théorie des graphes (Le terme de graphe désigne en mathématiques une opération d'application. Il possède deux...) se généralisent naturellement aux hypergraphes, par exemple le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Ramsey.
Les hypergraphes ont des applications dans tous les domaines où on utilise la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) des graphes : résolution de problèmes de satisfaction de contraintes, traitement d’images, optimisation d’architecture réseaux, modélisation, etc.
Soient un ensemble, une famille de parties de V, avec deux entiers non nuls.
Un hypergraphe H est un couple (V,E) tel que :
A l'instar des graphes, on dit que :
un hypergraphe c'est juste une matrice 0-1! mais attention certains mettent les arêtes en ligne (c'est mon cas) et d'autres en colonne... un hypergrahe est autodual si sa matrice est symétrique. le top du top c'est quand un autodual est autotransversal.
Parmi les propriétés "nouvelles" — au sens : non définies avec les graphes — introduites avec les hypergraphes figurent deux notions associées.
Par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) d'un hypergraphe, les arêtes sont des parties non vides de l'ensemble des sommets de l'hypergraphe. L'anti-rang d'un hypergraphe est donc non nul.
Un hypergraphe est dit uniforme lorsque son rang et son anti-rang sont égaux.
On parle aussi d' hypergraphe r-uniforme pour désigner un hypergraphe uniforme de rang r.
A l'instar des graphes, on dit que :
Ces notions généralisent à la théorie des hypergraphes les notions de graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) partiel et de sous-graphe.
A l'instar des graphes, on dit que :
Dans le cas où toutes les arêtes de E sont de cardinalité (En linguistique, les nombres entiers naturels zéro, un, deux, trois, etc. s'appellent des...) égale à 2, H est un graphe simple non orienté au sens classique de la théorie des graphes.
on les appelle aussi "famille de Sperner" ou "anti-chaîne".
Soit tel que .
Alors l'hypergraphe défini par H * = (E,V * ) est appelé hypergraphe dual de H. beaucoup plus simplement il suffit de prendre la transposée de la matrice.
(12,13,23) est à la fois autodual et autotransversal.
un hypergraphe est "waou!" s'il possède plusieurs propriétés remarquables. ex: P = (123,145,167,246,257,347,356). P est un plan projectif, P est autotransversal, uniforme, régulier et autodual. qui dit mieux?