Théorème de Thalès (cercle)
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On attribue à Thalès, la démonstration de nombreuses propriétés géométriques.

En France, le théorème de Thalès concerne des propriétés de proportionnalité dans des triangles coupés par des droites parallèles. Mais Thalès s'est aussi intéressé au cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de...) circonscrit. On appelle aussi théorème de Thalès (Le théorème de Thalès est un théorème de géométrie, attribué selon la légende au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet ; en réalité Thalès s'est davantage intéressé aux angles opposés...) la propriété suivante:

Un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La...) inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la...) est un triangle rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.).

Le demi-cercle dont le diamètre est l'hypoténuse (Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté non adjacent à l'angle droit, ou le côté opposé à l'angle droit. Dans un triangle rectangle, la longueur de l'hypoténuse égale la racine carrée de la somme des...) d'un triangle rectangle est parfois appelé "Cercle de Thalès". La demi-sphère dont le diamètre est l'hypoténuse d'un triangle rectangle est parfois appelée "Sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une...) de Thalès".

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à...)

Dans la figure, les triangles (OAB) et (OBC) sont isocèles de sommet O, donc nous pouvons écrire les égalités suivantes : \widehat{OAB}=\widehat{OBA} et \widehat{OBC}=\widehat{OCB}

(rem: cette propriété est aussi une propriété démontrée par Thalès)

En sommant ces deux égalités, il vient :

\widehat{OAB}+\widehat{OCB}=\widehat{ABC}

Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il vient

\widehat{OAB}+\widehat{OCB}+\widehat{ABC} = 2\widehat{ABC}=180°

puis en divisant par 2 la dernière égalité, on obtient

\widehat{ABC}= 90°

Le triangle est donc bien rectangle en B.

Réciproque (La réciproque est une relation d'implication.)

Il existe aussi une réciproque à cette version du théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement...) de Thalès :

Si ABC est un triangle rectangle en B alors le triangle s'inscrit dans un cercle de diamètre [AC]

Démonstration: on trace (TRACE est un télescope spatial de la NASA conçu pour étudier la connexion entre le champ magnétique à petite échelle du Soleil et la géométrie du plasma coronal,...) la droite passant par le milieu O de [AC] et le milieu A' de [BC]. Comme droite des milieux, elle est parallèle à (AB). Comme (AB) et (BC) sont perpendiculaires, il en est de même de (A'O) et (BC). (A'O) est donc une droite passant par le milieu de [BC] et perpendiculaire (En géométrie plane, on dit que deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Le terme de perpendiculaire vient du latin per-pendiculum (fil à plomb) et justifie la généralisation de la notion de...) à [BC], c'est donc la médiatrice (En géométrie plane, la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment. Cet ensemble est la droite passant par le...) de [BC]. Il suffit de faire le même raisonnement pour la droite passant par O et par C' milieu de [AB] pour prouver que cette droite est la médiatrice de [AB]. Ces deux médiatrices se coupent en O qui est donc le centre du cercle circonscrit au triangle. Comme O est le milieu de [AC], le cercle a bien pour diamètre [AC]

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