Courbe cubique
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Cubique avec point singulier
Cubique avec point singulier

En mathématiques, une courbe cubique est une courbe plane définie par une équation du troisième degré

F(X,Y,Z) = 0

en les coordonnées homogènes (En mathématique, les coordonnées homogènes, introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif comme les coordonnées cartésiennes le font dans l'espace euclidien....) [X:Y:Z] du plan projectif; ou bien c'est la version non-homogène pour l'espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des...) obtenue en faisant Z = 1 dans une telle équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer...). Ici F est une combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire non nulle des monômes de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) trois

X3, X2Y, ..., Z3

en X,Y et Z. Ceux-ci sont au nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de dix; donc les courbes cubiques forment un espace projectif de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son...) 9, au-dessus de n'importe quel corps K donné. Chaque point (Graphie) P impose une seule condition linéaire sur F, si nous demandons à C de passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) par P. Donc nous pouvons trouver une courbe cubique (En mathématiques, une courbe cubique est une courbe plane définie par une équation du troisième degré) passant par n'importe quelle famille de neuf points donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un événement, etc.) à l'avance.

Si on cherche les cubiques qui passent par 8\, points donnés, on obtient pour les coefficients de son équation un système linéaire homogène de 8\, équations à 10\, inconnues. Si ces points sont "en position générale" (la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres...) algébrique est faite entre autres pour comprendre ce que cela veut dire !) le rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension du noyau d'une application...) de ce système est maximum 8\,.

Si C_1=0\, et C_2=0\, sont les équations de deux d'entre elles, les autres de de la forme \lambda_1C_1+\lambda_2C_2=0\,. Elles passent toutes par les points d'intersection de ces deux cubiques. IL y en a 9\, d'après de théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de Bezout.

Nous venons de montrer, d'une façon un peu légère il est vrai, que toutes les cubiques planes qui passent par 8\, points "en position générale" passent par un 9\,ième point. Ce résultat sert notamment à prouver l'associativité de la loi de groupe définie sur les cubiques non singulières, voir l'article courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les...) elliptique.

Une courbe cubique peut avoir un point singulier ; dans ce cas elle a une paramétrisation par une droite projective. Sinon une courbe cubique non singulière est connue pour avoir neuf points d'inflexion au-dessus d'un corps algébriquement clos tel que les nombres complexes. Cela peut être démontré en prenant la version homogène de la matrice hessienne définie une cubique, et en intersectant son déterminant avec C; les intersections sont alors comptées par le théorème de Bézout. Ces points ne peuvent cependant être tous réels, de sorte qu'ils ne peuvent pas être vus dans le plan projectif réel en traçant la courbe. Les points réels des courbes cubiques furent étudiés par Newton; ils forment un ou deux ovales.

Une cubique non singulière définit une courbe elliptique, sur tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) corps K pour lequel elle a un point à coordonnées dans K (point K-rationnel). Les courbes elliptiques sur le corps des nombres complexes sont maintenant souvent étudiées en utilisant les fonctions elliptiques de Weierstrass. Ces fonctions elliptiques (pour un réseau (Un réseau informatique est un ensemble d'équipements reliés entre eux pour échanger des informations. Par analogie avec un filet (un réseau est...) donné) forment un corps isomorphe au corps des fonctions rationnelles d'une cubique d'équation affine (En mathématiques, affine peut correspondre à :) y2 = x(x − 1)(x − λ) . La possibilité pour une cubique sur K d'avoir une telle forme de Weierstrass dépend de l'existence d'un point K-rationnel, qui sert comme point à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque...) dans la forme de Weierstrass. Par exemple, il y a plusieurs courbes cubiques qui n'ont pas de tel point, quand K est le corps des nombres rationnels.

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