Axiomes de Hilbert - Définition

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Dans l'article de 1899, Hilbert avait ajouté un 21e axiome, qui s'est avéré redondant : il était possible de le déduire des autres. Le mathématicien Eliakim Hastings Moore (1862 1932) démontra la redondance en 1902.

« Soient quatre points sur une droite, il est toujours possible de les nommer A, B, C, et D, tel que B est entre A et C et entre A et D. De sorte que, C se trouve entre A et D et aussi entre B et D. »

Cette base axiomatique décrit l'espace euclidien de dimension trois. Il est relativement simple de transformer les hypothèses pour décrire un espace de dimension 2.

Cette axiomatique se formalise naturellement dans un calcul des prédicats à plusieurs types d'objets, les points, les droites, et les plans, une variante du calcul des prédicats ordinaire, où on préfère séparer syntaxiquement les objets de base du modèle plutôt que de les définir par des prédicats. Les axiomes de continuité ne sont pas des axiomes de la logique du premier ordre : ils requièrent la logique du second ordre (quantifications sur des ensembles d'objets de base). Tarski a donné une axiomatisation au premier ordre de la géométrie, qui repose de fait sur la notion de corps réel clos (et non sur le corps des réels), et qui est décidable et complète, à la différence de l'axiomatisation de Hilbert.

L'intérêt de l'approche de Hilbert est plus méthodologique que pédagogique ou appliquée. En effet, dès cette époque était déjà connue l'approche algébrique par des espaces vectoriels abstraits et des produits scalaires. Son article sur les fondements n'a donc une conséquence que secondaire en géométrie. En revanche, la démarche consistant à définir une approche axiomatique non redondante, consistante et si possible complète est avant-gardiste. L'article, durant le XX^e siècle, est d'une influence considérable sur l'approche axiomatique formelle en logique.

La base axiomatique

Il existe trois objets primitifs sur lesquels la base axiomatique s'applique. Ces objets ne sont pas définis, il s'agit de point, de droite et de plan.

Les axiomes sont regroupés en cinq catégories : l'association, l'ordre, la congruence, la continuité et les parallèles.

Trois concepts sont associés à cette axiomatique. Celui de l'association définit le mot contient, il correspond aux notions est élément de et est inclus dans de la théorie des ensembles. Celui de l'ordre correspond à une relation binaire entre un couple de points et un point, il apparaît dans les expressions entre et permet de définir les segments. La congruence, qui correspond à trois relations d'équivalence pour les couples de points, les triangles et les angles.

Les points, droites et plans sont considérés comme distincts par défaut, les cas contraires sont précisés dans la suite de l'article.

I. Association

I.1 : Soient deux points, il existe une droite passant par ces deux points.

I.2 : Soient deux points, il n'existe qu'une unique droite passant par ces deux points ; i.e. la droite décrite en I.1 est unique.

I.3 : Une droite contient au moins deux points, et pour une droite donnée, il existe au moins un point non contenu dans la droite.

I.4 : Soient trois points non contenus dans une droite, il existe un plan contenant ces trois points. Tout plan contient au moins un point.

I.5 : Soient trois points non contenus dans une droite, il n'existe qu'un unique plan contenant ces trois points.

I.6 : Soient deux points contenus dans une droite d et dans un plan α, alors α contient tous les points de d.

I.7 : Si deux plans α et β contiennent tout deux un point A, alors l'intersection de α et β contient au moins un autre point.

I.8 : Il existe au moins quatre points non coplanaires.

II. Ordre

II.1 : Si un point B est entre les points A et C, B est aussi entre les points C et A, et il existe une droite contenant les trois points A,B,C.

II.2 : Soient deux points A et C, il existe un point B élément de la droite AC tel que C se situe entre A et B.

II.3 : Soient trois points contenus dans une droite, alors un et un seul se situe entre les deux autres.

II.4 : Axiome de Pasch. Soient trois points A, B, C non alignés et soit une droite d contenue dans le plan ABC mais ne contenant aucun des points A, B, C : Si d contient un point du segment AB, alors d contient aussi soit un point du segment AC soit un point du segment BC.

III. Congruence

III.1 : Soient deux points distincts A, B et un point A' élément d'une droite d, il existe deux et deux uniques points C et D éléments de la droite d, tel que A' se situe entre C et D, et AB est congru à CA' ainsi qu'à DA' .

III.2 : La relation de congruence est transitive, c’est-à-dire, si AB est congru à CD et si CD est congru à EF, alors AB est congru à EF.

III.3 : Soient une droite d contenant les segments adjacents AB et BC et une droite d' contenant les segments adjacents A'B' et B'C' . Si AB est congru à A'B' et BC est congru à B'C' , alors AC est congru à A'C' .

III.4 : Soient un angle ABC et une demi-droite B'C' , il existe deux et seulement deux demi-droites, B'D et B'E,tel que l'angle DB'C' est congru à l'angle ABC et l'angle EB'C' est congru à l'angle ABC.

Corollaire : Tout angle est congru à lui-même.

III.5 : Soient deux triangles ABC et A'B'C' tel que AB est congru à A'B' , AC est congru à A'C' , et l'angle BAC est congru à l'angle B'A'C' , alors le triangle ABC est congru au triangle A'B'C' .

IV. Continuité

IV.1 : Axiome d'Archimède. Soient deux segments AB et CD tel que C est différent de D, il existe n points A₁,...,A_n de la droite contenant le segment AB, tels que A_j se situe entre A_j-1 et A_j+1 si 2 ≤ j < n - 1, A_jA_j+1 est congru à CD si 1≤ j <n - 1, A est confondu avec A₁ et B se situe entre A et A_n.

Ce groupe peut, ou non, être complété par un axiome impliquant la complétude de la géométrie.

IV.2 : Axiome de Cantor. Si (A_n) et (B_n) sont deux suites infinies de points telles que le segment A_i+1B_i+1 est inclus dans le segment A_iB_i. Si pour tout segment CD congru à un segment de la droite contenant A et B, il existe i tel que le segment A_iB_i soit congru à un segment inclus dans CD, alors il existe un point appartenant à tous les segments A_iB_i. En d'autres termes : Toute suite de segments emboîtés dont la longueur tend vers 0 admet un point commun.

V. Parallèles

V.1 : Soient une droite d et un point A non inclus dans d, alors il existe un plan contenant d et A. Ce plan contient une et une unique droite contenant A et ne contenant aucun point de d.