Axiomes de Hilbert - Définition

Introduction

David Hilbert

Euclide a rassemblé dans un livre fondateur (Les Éléments) toutes les connaissances géométriques de son temps sous la forme d’une théorie axiomatique. Il a laissé son nom à la géométrie euclidienne qui utilise son cinquième postulat, à la géométrie non-euclidienne qui ne l'utilise pas, et aux espaces euclidiens. Ce livre contient une base axiomatique pour construire sa géométrie.

Cette base axiomatique est néanmoins imparfaite : pour démontrer rigoureusement les théorèmes associés à cette géométrie, il est nécessaire d'admettre comme vraies des hypothèses supplémentaires implicites.

David Hilbert construit une axiomatique correspondant à l'idée qu'Euclide se fait de la géométrie. C'est l'objet de cet article.

Contexte

Les axiomes de Hilbert consistent en 20 assertions (21 à l'origine), que David Hilbert a proposées dans un article de 1899 comme fondation rigoureuse pour un traitement moderne de la géométrie euclidienne. Deux autres axiomatisations de la géométrie euclidienne existent par ailleurs : celle de Tarski et celle de Birkhoff.

Analyse de Hilbert

Ces présuppositions ont été mises en évidence à la fin du XIX^e par Pasch et Hilbert. Celui-ci a donné, avec Les fondements de la géométrie, un exposé axiomatique complet et rigoureux, s'attachant à clairement identifier tous les axiomes implicitement utilisés dans la géométrie traditionnelle.

Angle et longueur

Une des notions fondamentales de la théorie d’Euclide est donc celle d’égalité, ou congruence entre figures. Deux figures sont égales si elles peuvent représenter deux positions différentes d’un même corps rigide. Pour savoir si deux distances AB et CD sont égales, on peut repérer deux points E et F sur une règle rigide, et s’assurer que EF peut être ajusté à la fois sur AB et sur CD. Cela conduit à un problème de circularité : au sens géométrique, une règle est rigide lorsque les distances entre ses points ne varient pas au cours d'un déplacement. Mais pour savoir que deux distances sont égales, on se sert d’un corps rigide qu'on déplace.

David Hilbert, dans ses Fondements de la géométrie, mettra en évidence ce cercle vicieux. Pour y remédier, il introduit de nouveaux axiomes dévoilant les présupposés implicites d'Euclide. Ces axiomes donnent les propriétés qu'on souhaite voir vérifiées par des figures congruentes. Par exemple, on souhaite que la règle de transitivité soit respectée : si AB et CD ont la même longueur, et que CD et EF ont aussi la même longueur, alors AB et EF doivent avoir même longueur. Par ailleurs, un des axiomes de Hilbert relie congruence de segments et congruence d'angles et constitue le premier cas d'égalité des triangles : si [AB] est congruent à [A'B'], [AC] à [A'C'] et l'angle BAC à l'angle B'A'C', alors [BC] est congruent à [B'C']. A noter, que cette propriété, qui est un théorème chez Euclide est devenu un axiome chez Hilbert. C'est qu'Euclide suppose implicitement que les déplacements conservent la congruence. Cette supposition, mise à jour par Hilbert, revient en fait à admettre la validité du théorème. Hilbert déduit de cet axiome les autres cas d'égalité des triangles, l'existence de l'angle droit et la congruence entre eux de tous les angles droits, cette dernière propriété étant un axiome chez Euclide.

Nombre et géométrie chez Hilbert

Hilbert sait parfaitement que les corps de nombres ne sont pas uniques. Il sait aussi que l'idée des antiques sur le corps ayant les bonnes propriétés est fausse. Les nombres rationnels ne possèdent pas les propriétés requises pour modéliser convenablement notre espace.

Le bon corps est celui des nombres réels. Ce corps a été axiomatisé de manière particulièrement simple par Hilbert : c'est l'unique corps archimédien complet.

Le choix axiomatique de Hilbert, pour une question d'élégance, ne fait pas plus référence aux nombres que la construction antique. Seul deux axiomes sont ajoutés, un correspond à la propriété archimédienne, l'autre à la complétude emprunté au formalisme de Cauchy repris par Cantor. Ces deux axiomes assurent l'unicité du corps sous-jacent.

Non-unicité de la géométrie

Hilbert montre que l'axiome du premier cas d'égalité des triangles ne peut se déduire des autres axiomes. On peut en effet définir une géométrie (non-archimédienne) vérifiant tous les axiomes de la géométrie de Hilbert sauf le premier cas d'égalité des triangles. Cette géométrie présente les anomalies suivantes :

• On ne dispose pas de l'inégalité triangulaire.
• Les cas d'égalité des triangles ne sont plus valables.
• On peut avoir un triangle ayant deux angles égaux, mais dont les deux côtés ne sont pas égaux.
• La symétrie par rapport à une droite ne conserve pas nécessairement les longueurs.
• La notion d'aire d'un triangle (base × hauteur/2) n'est plus définie.
• On peut trouver deux carrés équidécomposables (i.e. qui peuvent être décomposés en triangles congruents), dont l'un est intérieur à l'autre.

L'axiomatique de Hilbert n'inclut qu'une unique géométrie, celle que les antiques imaginaient. Elle ne contient aucune anomalie et répond donc précisément à la pensée d'Euclide.