Calculs relativistes - Définition

Forces et Accélérations

Le quadrivecteur accélération

De même que nous avons défini le quadrivecteur vitesse en différentiant le quadrivecteur position par rapport au temps propre, nous pouvons définir le quadri-vecteur accélération en différentiant le quadrivecteur vitesse par rapport au temps propre :

avec

La transformation des accélérations

La transformation de Lorentz appliquée sur le quadrivecteur accélération dans un référentiel permet d'en déduire le quadrivecteur accélération dans le référentiel , et de calculer explicitement les composantes de l'accélération. Notons la ième composante dans le référentiel et notons-la dans le repère . On obtient, en notant v la vitesse de par rapport à  :

Lorsque v_x = v et v_y = v_z = 0 (vitesse et accélération parallèles), on a

Cette relation est importante car elle peut servir à obtenir la variation de la masse avec la vitesse et, donc, E = mc².

Lorsque v_y = v et v_x = v_z = 0 (vitesse et accélération perpendiculaires), on a

Cette formule est utile pour un mouvement de rotation et sert pour l'obtention de la formule de Larmor relativiste.

Le mouvement uniformément accéléré

Considérons un référentiel inertiel . Supposons que M, particule de masse m₀, se déplace sous l'effet d'une force constante F parallèle à Ox et que, pour t = 0, M soit en O avec une vitesse nulle. Sous l'effet de la force, la particule va être soumise à une accélération. Cependant, celle-ci ne saurait être constante, égale à , sous peine de voir la particule atteindre puis dépasser la vitesse de la lumière. Quel est alors l'équivalent relativiste du mouvement uniformément accéléré de la mécanique galiléenne ?

À un instant t donné, le point M est animé d'une vitesse V par rapport à . Considérons alors un référentiel se déplaçant à la vitesse constante v qui coïncide à l'instant t avec la vitesse V de M, et tel que son origine O' coïncide également avec M à l'instant t. Dans ce référentiel , au cours du temps, le point M se voit se rapprocher de O', atteindre ce point en un certain instant t', sa vitesse V' s'annule en cet instant, puis il repart et s'éloigne de O'. Il est alors soumis à une accélération a'_x dans le repère . Puisque la vitesse V' s'annule au moment où M atteint O', nous ferons l'hypothèse que les lois de la mécanique galiléenne s'applique à cet instant, et que l'accélération a'_x est égale à g. Selon les règles de transformation des accélérations vues précédemment, et compte tenu du fait que v = V = V_x, l'accélération de la particule M dans le référentiel à l'instant t est .

Si, à chaque instant t, on redéfinit le référentiel coïncidant avec M, alors on définit ainsi une accélération propre constante a'_x = g et une accélération dans le référentiel égale à :

Au fur et à mesure que V augmente et se rapproche de c, l'accélération de la particule dans le référentiel diminue, bien que son accélération dans son référentiel propre reste constante. L'intégration de l'équation donne l'expression de V en fonction du temps, à savoir :

On constate que V tend vers c lorsque t tend vers l'infini. Par ailleurs, pour t proche de 0, on retrouve l'expression V = gt de la mécanique galiléenne. Une deuxième intégration fournit l'expression de l'abscisse x du point mobile M :

Pour t proche de 0, on retrouve l'expression de la mécanique galiléenne.