L'équation de conservation de la charge électrique s'écrit :
La force de Lorentz s'écrit :
Les équations de Maxwell s'écrivent sous forme vectorielle
Écrites dans le formalisme de Lorentz avec des quadrivecteurs, elles se simplifient.
On pose comme quadri-vecteur courant
. En effet, soit ρ0 la densité de charge dans le référentiel propre, se déplaçant à la vitesse par rapport à un référentiel
. Du fait de la contraction des longueurs dans la direction de
, le volume occupé par une charge donnée sera multiplié par le facteur
lorsqu'il est observé depuis le référentiel
, et donc la densité de charge dans ce même référentiel sera γ(V)ρ0. Par ailleurs, la densité de courant est
, de sorte que :
On peut alors appliquer les transformations de Lorentz pour déterminer comment sont transformées densité de charge et densité de courant d'un référentiel
à un référentiel
.
Nous avons donc comme formule de transformation des courants et des densités de courant (pour un référentiel en translation uniforme) :
De la même façon, on a comme transformation pour les potentiels :
On définit le quadri-potentiel électromagnétique :
Le tenseur électromagnétique s'écrit sous forme matricielle :
Les équations contenant les sources (1) et (4) s'écrivent dans la formulation covariante :
En effet, on a :
Les équations (2) et (3) s'écrivent :
La vérification est aisée.
L'équation s'écrit aussi avec le tenseur de Lévi-Civita :
Les chocs aux hautes énergies
La principale confirmation de la relativité est aujourd'hui facilement illustrée par ce qu'on appelle la physique des particules ou encore des hautes énergies. Les accélérateurs de particules frappent par la dimension des installations ; ce sont des tubes (dans lequel on fait le vide) de plusieurs kilomètres en forme d'anneau creux ou tore dans lequel sont injectés des 'paquets' de protons qui circulent à grandes vitesses après avoir été accélérés par des champs électriques et déviés par des champs magnétiques qui leur imposent de rester à tourner dans le tube. Ainsi il est possible de faire des chocs de protons contre des protons à hautes énergies.
Référentiels particuliers
On considère en général deux référentiels : le référentiel où la cible 2 est au repos dit du laboratoire SL
et le référentiel où le tout est immobile dit à tort du centre de masse SCM
si on a une particule de masse m1 qui vient percuter une particule de masse m2, on écrira en relativité restreinte la conservation du quadrivecteur impulsion :
On suppose que les deux particules se sont provisoirement unies et forment le tout avec :
ce qui donne aussitôt dans le référentiel où 2 est immobile :
où Ec1 = E1 − m1c2 est l'énergie cinétique de la particule 1, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos. en résolvant :
et
Remarquer que:
On peut donc en déduire le γ permettant de passer du système du laboratoire (cible 2 immobile) au système dit du centre de masse (l'ensemble est immobile)
et le :
La pseudonorme du tout donne la masse totale exprimée dans SL en fonction de m1,m2 et Ec1.
On constate que la masse du tout mt n'est pas la somme des masses m1 et m2, alors que ce serait le cas classiquement. La conservation classique de la masse est mise à mal par la relativité restreinte et c'est là l'origine de l'énergie nucléaire : l'énergie du soleil provient de la libération de l'énergie contenue dans la masse qui disparaît dans les réactions de fusion. En sensinverse on peut créer de la masse et donc de nouvelles particules dans les anneaux de collission par la conversion d'énergie en masse.
Le défaut de masse
Dans l'exemple précédent, mt était supérieure à la somme des masses m1 et m2. À l'inverse, lors d'une désintégration radioactive, la masse des particules formées est inférieure à la masse initiale. La réaction a produit de l'énergie : elle est exoénergétique. Ce qui donne aussitôt dans le référentiel dit du centre de masse celui où la particule mt est immobile :
où Ec2 = E2 − m2c2 est l'énergie cinétique de la particule 2, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos. en ordonnant et en résolvant :
et
On peut donc en déduire le γ permettant de passer du système du laboratoire (cible 2 immobile) au système dit du centre de masse (l'ensemble est immobile)
et le :
et en permuttant 1 et 2
où Ec1 = E1 − m1c2 est l'énergie cinétique de la particule 2, puisque c'est son énergie en mouvement - moins son énergie au repos.
![F^{\alpha\beta}=\left[\begin{matrix} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c}\\ \frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y\\ \frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x\\ \frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/0/00434fce2fb99b81ce2b089ed0b74a8c_dbd9423158c065927f8789bab43db1df.png)
![F^{\alpha\beta}=\left[\begin{matrix} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c}\\ \frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y\\ \frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x\\ \frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0 \end{matrix}\right]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/0/00434fce2fb99b81ce2b089ed0b74a8c_dbd9423158c065927f8789bab43db1df.png)
