Jeudi 1er Mai 2025
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Calculs relativistes - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
- Introduction - Les transformations de Lorentz - Forces et Accélérations - Utilisation du groupe de Lorentz - Le quadrivecteur énergie impulsion - Accélération et énergie - Les lois de l'électromagnétisme - Les chocs aux hautes énergies - Autres ébauches

Utilisation du groupe de Lorentz

Soit L(v) la matrice

\begin{bmatrix} \gamma & \gamma\beta& 0 & 0\\ \gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}

avec \beta = \beta(v) = {v \over c} et \gamma = \gamma(v) = {1 \over \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} . Cette matrice, appliquée aux composantes {\mathbf{X'}} dans un référentiel \mathbb R' donne les composantes {\mathbf{X}} dans le référentiel \mathbb R par rapport auquel \mathbb R' se déplace avec une vitesse v :

\mathbf{X} = L(v)\mathbf{X'}

Si on dispose d'un référentiel \mathbb R'' se déplaçant par rapport au référentiel \mathbb R' à la vitesse u', alors les relations entre les composantes \mathbf{X''} dans le référentiel \mathbb R'' et les composantes \mathbf{X'} dans le référentiel \mathbb R' sont données par :

\mathbf{X'} = L(u')\mathbf{X''}

On a donc :

\mathbf{X} = L(v)\mathbf{X'} = L(v)L(u')\mathbf{X''}

La matrice produit L(v)L(u') n'est autre que la matrice L(u), où u est la vitesse du référentiel \mathbb R'' par rapport au référentiel \mathbb R . On vérifiera que L(v)L(u') = L({u'+v \over 1+u'v/c^2}) , et donc que u=\frac{u'+v}{1+\frac{u'v}{c^2}} , comme plus haut.

On se reportera au paragraphe ci-dessous pour le cas plus général où les vitesses u et v ne sont pas colinéaires.

Le quadrivecteur vitesse

Transformation des vitesses

On peut calculer une vitesse en formant le rapport d'une distance par un temps :

\frac{V_x}{c}= \frac{x}{ct} = \frac{\frac{x'}{ct'} + \beta}{1 +\beta\frac{x'}{ct'}} \qquad \frac{V_y}{c}= \frac{y}{ct} = \frac{\frac{y'}{ct'}}{\gamma (1 +\beta\frac{x'}{ct'})} \qquad \frac{V_z}{c}= \frac{z}{ct} = \frac{\frac{z'}{ct'}}{\gamma (1 +\beta\frac{x'}{ct'})} \qquad
\frac{V_x}{c}= \frac{\frac{V_x'}{c} + \beta}{1 + \beta{\frac{V_x'}{c}} } \qquad \frac{V_y}{c}= \frac{\frac{V'_y}{c} }{\gamma (1 + \beta{\frac{V_x'}{c}})} \qquad \frac{V_z}{c}= \frac{\frac{V'_z}{c} }{\gamma (1 + \beta{\frac{V_x'}{c}})} \qquad

Ce sont les transformations sur les vitesses et l'on constate que les vitesses ne s'ajoutent pas : il ne faut pas appeler ces relations en utilisant le mot 'addition'.

Ces relations peuvent s'écrire différemment si on calcule :

1-\frac{V^2}{c^2}=1-\frac{V_x^2+V_y^2+V_z^2}{c^2}=1- \left(\frac{\frac{V_x'}{c} +\beta}{1 + \beta{\frac{V_x'}{c}} }\right)^2- (1-\frac{v^2}{c^2})\left(\left(\frac{\frac{V_y'}{c} }{1 + \beta{\frac{V_x'}{c}} }\right)^2 +\left(\frac{\frac{V_z'}{c} }{1 + \beta{\frac{V_x'}{c}} }\right)^2\right)

soit: (1-\frac{V^2}{c^2})(1 + \beta\frac{V_x'}{c})^2=(1-\frac{V'^2}{c^2})(1-\frac{v^2}{c^2})

En posant \Gamma (V) = \frac {1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}= \frac {1}{\sqrt{1-(\frac{x}{ct} )^2-(\frac{y}{ct} )^2-(\frac{z}{ct} )^2}}=\Gamma_V et \Gamma (V') = \frac {1}{\sqrt{1-\frac{V'^2}{c^2}}}= \frac {1}{\sqrt{1-(\frac{x'}{ct'} )^2-(\frac{y'}{ct'} )^2-(\frac{z'}{ct'} )^2}}=\Gamma_{V'} et \gamma = \gamma_v = \frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} .

s'écrit (\Gamma_Vc) = \gamma_v\left( (\Gamma_{V'}c) + \beta(\Gamma_{V'}V_x') \right) . qui est une des transformations de Lorentz si on considère le quadrivecteur

(\Gamma_V c, \Gamma_V\vec V )= \frac {(c,\vec V)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} est le quadrivecteur vitesse.
de même :
\Gamma_V c = \gamma_v ( \Gamma_{V'} c + \beta \Gamma_{V'} V_x')\qquad \Gamma_V V_x = \gamma_v ( \Gamma_{V'} V_x' + \beta \Gamma_{V'}c)
\qquad \Gamma_V V_y = \Gamma_{V'} V_y' \qquad \Gamma_V V_z = \Gamma_{V'} V_z'
\begin{pmatrix} \gamma (V) c\\ \gamma (V) V_x\\ \gamma (V) V_y\\ \gamma (V) V_z\\\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & \gamma\beta& 0 & 0\\ \gamma\beta & \gamma & 0& 0\\ 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 0& 1\end{bmatrix}\begin{pmatrix} \gamma (V') c\\ \gamma (V') V_x'\\ \gamma (V') V_y'\\ \gamma (V') V_z'\\\end{pmatrix}
Ceci est la façon matricielle d'écrire une transformation de Lorentz sur les vitesses. où :
(\gamma (V) c, \gamma (V)\vec V )= \frac {(c,\vec V)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}} est le quadrivecteur vitesse.
Ceci va avoir d'énormes conséquences en dynamique.

Utilisation des invariants:Pseudo-norme et Temps propre

considérons:: ds=\sqrt{c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2} et d\tau=dt\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} tous deux invariants.

cdτ = ds

En relativité restreinte, nous avons un invariant qui a pour dimension une longueur (que nous appelons longueur propre) : Nous définissons le temps propre de la manière suivante Nous obtenons :

\frac{d}{d\tau}=\gamma(V)\frac{d}{dt}

dτ est l'accroissement de temps mesuré dans un référentiel en mouvement avec une vitesse V par rapport à un référentiel \mathbb R dans lequel l'accroissement de temps est dt. La quantité dt\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} ne dépend pas du référentiel \mathbb R choisi. C'est un invariant relativiste.

Nous définissons alors naturellement la quadrivitesse : u^\alpha=\frac{dx^\alpha}{d\tau}

u^\alpha=({\gamma(V)}c,\gamma(V)\vec{V})

qui a une pseudo norme égale à 1

Le voyage dans le futur des autres

Ou le paradoxe des jumeaux :

  • Rappelons ce paradoxe :

On considère deux jumeaux A et B. A entreprend un long voyage puis revient vers B. A est alors censé avoir vieilli moins que B. Un paradoxe est soulevé si, en se plaçant du point de vue de A, il considère que c'est B qui voyage et qui devrait avoir moins vieilli que lui. Par conséquent, il n'y a aucune raison de trouver une dilatation du temps de l'un par rapport à l'autre.

  • Pour lever le paradoxe, il faut repérer où se situe une dissymétrie :

B se situe dans un référentiel inertiel \mathbb R et n'en change pas. Dans un premier temps, A se situe dans un référentiel inertiel \mathbb R' se déplaçant à la vitesse v par rapport à \mathbb R , puis A fait demi-tour. Il change alors de référentiel inertiel et se trouve cette fois dans un référentiel inertiel \mathbb R'' se déplaçant à la vitesse -v par rapport à \mathbb R .

  • La dissymétrie provient donc du fait que A change de référentiel inertiel, et pas B. Dans ce qui suit, on va illustrer par l'effet Doppler l'évolution des vies de A et de B. Nous verrons que lorsque A et B s'éloignent l'un de l'autre, l'effet Doppler des signaux qu'ils s'envoient l'un vers l'autre est identique (la fréquence des signaux est diminuée dans le même rapport). Lorsque A et B se rapprochent l'un de l'autre, il en est de même (la fréquence des signaux est augmentée dans le même rapport). Mais l'inversion de l'effet Doppler dépend uniquement de A, et B n'y joue aucun rôle. Ceci expliquera que, du point de vue de A ou de B, B a davantage vieilli que A.

On considère R' le référentiel du voyageur A qui se déplace à 3/5 c ce qui donne une dilatation du temps de

\gamma = \frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac {1}{\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}}=5/4
Si T0 est la durée du voyage dans R', dans R le voyage aller a duré T1 = γT0 = 5/4 années, en parcourant vγT0= 3/5×5/4 T0 année-lumière= 3/4 T0 a.l.

(a.l. signifie année-lumière ou distance parcourue par la lumière en un an)

Pour simplifier prenons un voyage de T0 = 1 an et pour moderniser le voyage, O et O' sont sous vidéo avec émission en continu.
Par effet Doppler, les émissions sont reçues au ralenti avec un facteur (1+v/c) = 8/5 qui combiné avec la dilatation du temps 5/4 donne
T_r = \frac {(1+v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \times T_0= \sqrt{\frac {1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}} \times T_0=\frac {8}{5}\times \frac{5}{4}\times T_0= 2\times T_0

Il faut donc à chacun, et la situation est symétrique pour B en O et A en O', le double de temps pour visionner en « direct » la vie de l'autre tant que ni l'un ni l'autre ne modifie son mouvement.

  • Supposons que A s'arrête au bout d'un an, sans revenir.
Point de vue de A : Il a reçu 6 mois de la vie de B au ralenti en un an de son trajet et recevra la suite de vie de B avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute des six mois de la vie de B, visionnée au ralenti par A, a été émise 3/4 d'an plus tôt : A sait donc que B a vécu 5/4 d'année depuis son départ, ce qui est bien la durée T1 du voyage de A dans le référentiel de B.
Point de vue de B : Après avoir reçu au ralenti le voyage aller de A en 2 ans, B reçoit la vie de A avec un retard de 3/4 d'an à un rythme normal. La dernière minute du voyage de A, visionnée au ralenti par B, a été émise 3/4 d'an plus tôt : B sait donc que le voyage de A a duré (dans le référentiel de B) 2 ans moins 3/4 année, soit 5/4 d'année, ce qui est bien la durée T1 du voyage de A dans le référentiel de B.
  • Supposons maintenant que A en O' fasse demi tour au bout d'un an temps propre pour lui :
Point de vue de A : Il n'a alors visionné que 6 mois de la vie de B situé en O et il lui reste à recevoir ce qui est sur les 3/4 a.l qui séparent O de O', soit 3/4 ans du vécu de B en O non visionné par A situé en O', auquel il faudra ajouter la durée de vie de B pendant le voyage retour de A, soit T1 = 5/4 ans de la vie de B. A recevra donc en accéléré, en un an de son voyage retour, 2 ans de vie de B en O, ce qui est bien conforme à une réception en accéléré due au fait que le voyage retour rapproche A et O. En effet :
T_r = \frac {(1-v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \times T_0= \sqrt{\frac {1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}} \times T_0=\frac {2}{5}\times \frac{5}{4}\times T_0= 1/2\times T_0
A a donc voyagé pendant 2 ans et se retrouve avec B en O qui a vécu 6 mois + 2 ans = 2 ans et demi = 2T1.
C'est l'effet dilatation du temps.
Noter que A a fait demi tour dans un espace contenant des ondes qui se propagent vers B en O.
Point de vue de B : En O, il reçoit pendant 2 ans le voyage aller de A en O' et lorsque A fait demi-tour, il ne le sait pas encore. Lorsqu'il reçoit l'information que A en O' a fait demi tour il y a déjà 3/4 d'an que A voyage sur le retour et A sera dans 6 mois en O : B en O reçoit ce retour d'un an de la vie de A en accéléré en ces 6 mois. B aura mis 2 ans et 6 mois pour recevoir les « 2ans » de voyage de A.

Tous les premiers de chaque mois, A et B s'envoient mutuellement le rang du mois qui commence pour eux. Dans le tableau ci-dessous, on affiche dans la colonne de gauche le rang vécu par A et qu'il envoie à B, alors que la colonne de droite affiche les messages que perçoit A de la part de B. Pendant le voyage aller, la vie de B s'affiche deux fois moins vite, alors que pendant le voyage retour, la vie de B s'affiche deux fois plus vite.

Point de vue de A
Horloge de A
Visionnage de la vie de B
A s'éloigne de B et visionne la vie de B
au ralenti (deux fois moins vite)
1
1
2
1
3
2
4
2
... ...
10
5
11
6
12
6
A fait demi-tour.
Il se rapproche de B et visionne la vie de B
en accéléré (deux fois plus vite)
13
8
14
10
15
12
... ...
23
28
24
30

On peut procéder de même pour B. On prendra garde que A fait demi-tour au bout de 15 mois de B, mais que B ne le voit que 9 mois plus tard, le temps que le signal parvienne jusqu'à lui, donc au bout de 24 mois.

Point de vue de B
Horloge de B
Visionnage de la vie de A
A s'éloigne de B. B visionne sa vie
au ralenti (deux fois moins vite)
1
1
2
1
3
2
4
2
... ...
22
11
23
12
24
12
B voit que A fait demi-tour.
Il se rapproche de B et B visionne sa vie
en accéléré (deux fois plus vite)
25
14
26
16
27
18
28
20
29
22
30
24

Le temps est relatif : comme une coordonnée, il dépend du référentiel. La durée du voyage de A, égal à 2T0 est multiplié pour B par le facteur

\frac {(1-v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+ \frac {(1+v/c)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}= \sqrt{\frac {1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}+\sqrt{\frac {1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}= \frac {2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Pour bien percevoir l'effet relativiste, il faut voir ce que donnerait le formalisme classique. Il suffit de supposer qu'au lieu de s'envoyer des messages électro-magnétiques, A et B s'envoient des messages sonores à intervalle régulier. Nous supposerons que le milieu dans lequel se déplacent ces ondes sonores coïncide avec le référentiel de B. Le facteur de l' effet Doppler demeure, mais au sens classique.

  • En ce qui concerne les messages émis de B vers A, A les perçoit à l'aller en ralenti avec le facteur (1 − v / c), et au retour en accéléré avec le facteur (1 + v / c), sans le facteur spécifiquement relativiste de dilatation du temps \frac {1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} . La longueur du trajet de A est 3cT0/5, soit 3/5 a.l. (nous gardons les mêmes unités même si elles ne sont plus vraisemblables pour faciliter la comparaison).
  • En ce qui concerne les messages émis de A vers B, B les perçoit à l'aller de A en ralenti avec le facteur {1 \over (1-v/c)} , et au retour de A en accéléré avec le facteur {1 \over (1+v/c)} .
Point de vue de A : Pendant le voyage aller d'un an (sic), A reçoit au ralenti la vie de B avec un facteur 1 - 3/5, soit 2/5 de la vie de B. Au retour, A reçoit en accéléré la vie de B avec un facteur 1 + 3/5, soit 8/5 de la vie de B. Au cours de ses deux ans de voyage, A a visionné 2/5 + 8/5 = 2 années de la vie de B.
Point de vue de B : B reçoit au ralenti une année de voyage de A, avec un facteur 1/(1 + 3/5)) = 5/8. À cet instant, A fait demi-tour, mais B ne le sait pas encore. Il le saura lorsque le signal émis par A lui parviendra, c’est-à-dire dans 3/5 d'année. B verra donc s'écouler 1 + 3/5 = 8/5 d'années pour visionner la totalité du voyage de A avant de le voir faire demi-tour. Ces 8/5 d'années correspondent bien à un an de la vie de A visionnée au ralenti avec un facteur 5/8. Lorsque B voit A faire demi-tour, A est déjà sur le chemin du retour depuis 3/5 d'année. Il lui reste donc 2/5 d'année à voyager. B, quant à lui, visionnera en accéléré la totalité du voyage retour avec un facteur 1/(1 - 3/5)) = 5/2. Ce visionnage du retour durera donc également 2/5 d'année, et B aura visionné 8/5 + 2/5 = 2 années de voyage de A.

L'aller et le retour de A ont duré chacun 1 an, A a vécu 2 ans. Et B a vécu 2 ans pour visionner les 2 ans du voyage de A : classique quoi ! Le temps est le même pour A et B : universel.

Forces et Accélérations
Le quadrivecteur énergie impulsion
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