Quadrivecteur
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La théorie de la relativité (restreinte, puis générale) postulée par Einstein amène à considérer les trois coordonnées d'espace (par exemple hauteur, largeur, profondeur) et le temps comme formant un tout indissociable.

La description et les calculs sur cet ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) (baptisé depuis espace-temps) ont amené Einstein à prolonger la notion de vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un...) newtonien classique (formé de trois coordonnées d'espace, tel le vecteur vitesse (On distingue :) d'un point (Graphie) matériel) pour créer un nouvel objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui...) mathématique, le quadrivecteur (La théorie de la relativité (restreinte, puis générale) postulée par Einstein amène à considérer les trois coordonnées d'espace (par exemple hauteur, largeur,...).

Un quadrivecteur correspond donc à l'ensemble de non pas trois mais quatre composante, la composante supplémentaire étant associée à la coordonnée de temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) t. Pour des raisons dimensionnelles, on utilise parfois à sa place la coordonnée, éeventuellement notée x0 égale au produit de la coordonnée de temps par la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour « célérité », la lumière se manifestant macroscopiquement comme un phénomène ondulatoire), est une constante physique, et donc un...), c t. Selon les cas, le temps apparaît soit en premier (comme le suggère la notation x0), soit en dernier. La raison d'être des quadrivecteur est tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) d'abord de décrire comment se transforme l'ensemble des coordonnées x, y, z et t (ou c t) lors d'un changement de référentiel. Ces changements sont appelés transformation de Lorentz en relativité restreinte (On nomme relativité restreinte une première version de la théorie de la relativité, émise en 1905 par Albert Einstein, qui ne considérait pas la question des accélérations d'un référentiel, ni les interactions...).

Par extension, il apparaît qu'un grand nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de quantités peuvent être vues comme se transformant comme les quatre coordonnées d'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise notamment par Minkowski en 1908 dans un exposé mathématique sur la géométrie...). De tels objets sont également des quadrivecteurs. Les composantes spatiales des quadrivecteurs correspondent toujours à un vecteur tridimensionnel en mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres de transmission, pistons, ...), bref, de tout ce qui produit ou...) classique. La signification physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) de la quatrième composante des quadrivecteurs est par contre moins immédiate, quoique toujours en rapport avec l'objet considéré.

Quadrivecteurs covariants et contravariants

Un quadrivecteur peut exister sous deux formes, dites covariante et contravariante. La distinction entre ces deux formes se fait à l'aide de la position des indices des composantes de quadrivecteurs.

Quand les indices sont notés en exposant (Exposant peut signifier:), on parle d'indices covariants. Quand il sont notés en bas, on parle d'indices contravariants. Par exemple, pour un vecteur V :

  • Les Va sont les composantes covariantes du vecteur,
  • Les Va sont les composantes contravariantes du vecteur.

Les coordonnées x, y, z et t sont des quantités covariantes. On les note ainsi sous la forme

(t,x,y,z) = xa.

Il est possible de passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) de la forme covariante à la forme contravariante des composantes d'un vecteur à l'aide d'une opération qui peut formellement s'assimiler à une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) matricielle, à l'aide d'une matrice symétrique (ce qui exige que A soit une matrice carrée.) en général notée ηab. On a ainsi, pour tout vecteur

Va = ηabVb
b

. Dans ce genre de sommation, il est de coutume d'omettre le signe somme, celle-ci étant implicite chaque fois qu'un inidie apparaît simultanément en haut et en bas dans une formule. L'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation...) précédente se note ainsi

Va = ηabVb.

La transformation inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un...) se fait à l'aide de la matrice inverse, notée avec des indices en haut,

\eta^{ab} = \left[\eta_{ab} \right]^{-1}.

On a ainsi

Va = ηabVb.

La matrice η est appelée métrique de Minkowski. Sa forme matricielle est

\eta_{ab} = \pm \left(\begin{array}{cccc} X^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & - 1 & 0 & 0\\ 0  & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array} \right).

La quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.) X vaut c (la vitesse de la lumière) ou 1 selon que la coordonnée temporelle a été prise égale à t ou c t. Le signe de η est indéterminé, et dépend d'une convention arbitraire, appelée convention de signe de la métrique.

En règle générale, un quadrivecteur est défini de façon non ambiguë par sa forme covariante ou contravariante, l'autre forme étant déduite par l'action de la matrice η.

La matrice η permet de calculer la norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le plus souvent...) d'un quadrivecteur, ou plus généralement le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux...) entre deux vecteur. On a ainsi

{\mathbf{U}} \cdot {\mathbf{V}} = \eta_{ab} U^a V^b = \pm \left(X^2 U^0 V^0 - U^x V^x - U^y V^y - U^z V^z \right).

Quelques exemples de quadrivecteurs

  • Quadrivecteur position-temps:
x^a = (t,{\mathbf{r}}) = (t, x, y, z),
ou
x^a = (c t,{\mathbf{r}}) = (c t,x,y,z).
  • Quadrivecteur vitesse (quadrivitesse) :
u^a = \frac{{\rm d} x^a}{{\rm d} \tau},
ou
u^a = \frac{{\rm d} x^a}{c {\rm d} \tau},
où τ est le temps propre, c'est-à-dire le temps qui serait indiqué par une horloque qui serait attaché à l'objet dont la trajectoire (La trajectoire est la ligne décrite par n'importe quel point d'un objet en mouvement, et notamment par son centre de gravité.) aurait le vecteur vitesse correspondant. Le quadrivecteur vitesse est par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) de norme fixée (par norme on entend la quantité ηabuaub, voir paragraphe ci-dessus), égale, selon la convention de coordonnée et de signe choisie à c2, -c2, 1, ou -1. La composante temporelle du quadrivecteur vitesse est déterminée par la condition que la norme soit égale à la valeur imposée.
  • Quadrivecteur impulsion (quadriimpulsion). Pour une particule de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la...) non nulle :
p^a = m \frac{{\rm d} x^a}{{\rm d} \tau},
ou
p^a = m \frac{{\rm d} x^a}{c {\rm d} \tau},
où τ est le temps propre. Le quadrivecteur impulsion possède une norme fixée, égale, selon la convention de coordonnée et de signe choisie à m2c2, -m2c2, m2, ou -m2. La composante temporelle du quadrivecteur vitesse est déterminée par la condition que la norme soit égale à la valeur imposée. On peut montrer qu'elle s'idenfie (à une constante près) à l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) de l'objet telle qu'elle serait mesurée par un observateur immobile par rapport aux coordonnées x, y, z.
  • Potentiel vecteur Aa. Ce quadrivecteur est défini avec des composantes contravariantes. Ses composantes spatiales s'identifient (au signe près) au potentiel vecteur de l'électromagnétisme (L'électromagnétisme est une branche de la physique qui fournit un cadre très général d'étude des phénomènes électriques et magnétiques dans leur synthèse du champ électromagnétique :...), dont le rotationnel donne le champ magnétique (En physique, le champ magnétique (ou induction magnétique, ou densité de flux magnétique) est une grandeur caractérisée par la donnée d'une intensité et d'une direction,...). Sa composante temporelle donne, à un facteur multiplicatif près, le potentiel électrique (Le potentiel électrique est l'une des grandeurs définissant l'état électrique d'un point de l'espace. Son unité est le volt.).
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