Transformation de Lorentz - Définition et Explications

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Introduction

Cet article présente les transformations de Lorentz sous un aspect technique. Le lecteur désireux d'obtenir des informations physiques plus générales à ce sujet pourra se référer à l'article relativité restreinte.
Hendrik Antoon Lorentz (Hendrik Antoon Lorentz (18 juillet 1853 à Arnhem, Pays-Bas -...) en 1916

Les transformations de Lorentz sont des transformations linéaires des coordonnées d'un point (Graphie) dans l'espace-temps (La notion d'espace-temps a été introduite au début des années 1900 et reprise...) de Minkowski, à quatre dimensions (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce...) (trois d'espace et une de temps) et relativiste. On peut noter que la terminologie subit quelques variations : suivant que la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer,...) dans laquelle on travaille a trait ou non à la physique quantique (La physique quantique est l'appellation générale d'un ensemble de théories physiques...), les termes « transformations de Lorentz » désignent des transformations qui peuvent être différentes.

Dans le cadre de la relativité restreinte (La relativité restreinte est la théorie formelle élaborée par Albert Einstein...), les transformations de Lorentz correspondent à la loi de changement de référentiel galiléen (En physique, un référentiel galiléen, ou inertiel, est un référentiel dans...), sous laquelle les équations de la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la...) doivent être préservées, ainsi que la vitesse de la lumière (La vitesse de la lumière dans le vide, notée c (pour...), qui est la même dans tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou...) référentiel galiléen. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de ces transformations des coordonnées, aussi appelées transformations de Lorentz propres et orthochrones, est composé des transformations spécifiques à la relativité restreinte et des rotations dans l'espace à trois dimensions et forme le groupe de Lorentz.

Dans le cadre de la physique quantique relativiste, comme en Théorie quantique des champs (La théorie quantique des champs (QFT, abréviation du terme anglais Quantum field theory)...), ce sont les transformations linéaires de l'espace-temps qui laissent les lois invariantes (en l'absence de charge (La charge utile (payload en anglais ; la charge payante) représente ce qui est effectivement...) électrique), ce qui englobe les précédentes et en amène d'autres pour former aussi un groupe : la symétrie T et la parité s'invitent parmi les transformations le Lorentz et, comme elles sont interprétées comme des changements de convention d'orientation (Au sens littéral, l'orientation désigne ou matérialise la direction de l'Orient (lever du soleil...) des axes, elles ne sont pas utiles en relativité restreinte.

Dans chacun des deux cas l'ensemble des transformations désignées forme un sous-groupe du groupe de Poincaré.

Dans l'introduction à la publication, Deux Mémoires de Henri Poincaré sur la physique mathématique, Acta Matematica, Vol. 38, p. 293-308, en 1921, Hendrik Antoon Lorentz précise que c'est pour faire en sorte que les équations de Maxwell (Les équations de Maxwell, aussi appelées équations de Maxwell-Lorentz, sont des lois...) s'écrivent à l'identique dans tout référentiel galiléen que Henri Poincaré a introduit mathématiquement cette loi, en la baptisant du nom de Lorentz. Ce dernier en avait donné une version qu'il a, plus tard, lui-même jugée imparfaite.

Henri Poincaré

Les formules

Présentations les plus courantes

En relativité restreinte 
On considére deux référentiels \mathcal R et \mathcal R' en translation rectiligne uniforme l'un par rapport à l'autre à la vitesse (On distingue :) \ v parallèle à l'axe des x, et on note respectivement \ (x,y,z,t) et \ (x',y',z',t') les trois coordonnées spatiales et le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) permettant de repérer un même événement observé depuis chacun de ces référentiels. De plus \ \Delta x, \Delta y, ... et \ \Delta x', \Delta y', ... représentent les différences de coordonnées entre deux événements observés depuis chacun de ces référentiels

les transformations de Lorentz utilisées sont :

\left\{ \begin{matrix} \Delta t' = \frac{\Delta t - v \Delta x/c^2}{\sqrt {1-v^2/c^2}} \\ \Delta x' = \frac{\Delta x- v \Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \\ \Delta y' = \Delta y \\ \Delta z' = \Delta z \end{matrix} \right. \, , en posant \beta = \frac{v}{c} et \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}, on écrit : \,~\left\{ \begin{matrix} c \Delta t' = \gamma \left( c \Delta t - \beta \Delta x \right)\\ \Delta x' = \gamma \left( \Delta x-\beta c \Delta t \right) \\ \Delta y' = \Delta y \\ \Delta z' = \Delta z \end{matrix} \right. \,

Sous forme matricielle, ces transformations de Lorentz s'écrivent :  \begin{bmatrix} c \Delta t' \\ \Delta x' \\ \Delta y' \\ \Delta z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma&-\beta \gamma&0&0\\ -\beta \gamma&\gamma&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c\,\Delta t \\ \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \end{bmatrix}\ .

En physique quantique relativiste 
Les transformations de Lorentz qui doivent laisser invariantes les équations (en l'absence de charge électrique) sont :
\,~\left\{ \begin{matrix} c \Delta t' = \epsilon_1 \gamma \left( c \Delta t - \beta \Delta x \right)\\ \Delta x' = \epsilon_2 \gamma \left( \Delta x- \beta c \Delta t \right) \\ \Delta y' = \epsilon_2 \Delta y \\ \Delta z' = \epsilon_2 \Delta z \end{matrix} \right. \, avec \epsilon_i = \pm 1 \,~ indiquent s'il y a un changement d'orientation temporelle et/ou spatiale.
En considérant l'inversion temporelle T et l'inversion spatiale P, toute transformation utilisée en physique quantique est de la forme \ \Lambda .L, avec \ L une transformation de Lorentz (Les transformations de Lorentz sont des transformations linéaires des coordonnées d'un...) de la relativité restreinte (orthochrone et propre) et \ \Lambda \in \{Id; T; P; TP \}.

Le groupe des transformations propres et orthochrones étant connexe, la décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils...) ci-dessus permet de voir que le groupe de Lorentz est formé de quatre composantes connexes, et que le groupe des transformations spéciales (i.e : de déterminant positif) est composé de deux composantes connexes.

Présentation comme rotation hyperbolique dans l'espace-temps de Minkowski

L'égalité \ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} montre que \ \gamma ^2 - (\gamma.\beta )^2 = 1, ce qui permet de définir la rapidité \scriptstyle\boldsymbol{\phi} entre les deux référentiels inertiels, à l'aide des fonctions hyperboliques, par \ \cosh(\phi) = \gamma > 0 et \ \sinh(\phi) = \gamma.\beta \in \mathbb{R}  \, , soit encore \phi = \operatorname{artanh}{\left( \frac{v}{c} \right) }\, , en utilisant \beta = \frac{v}{c} \in \mathbb{R}.

On obtient en écriture matricielle :

 \begin{bmatrix} c \Delta t' \\ \Delta x' \\ \Delta y' \\ \Delta z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cosh(\phi) &-\sinh(\phi)&0&0\\ -\sinh(\phi)  & \cosh(\phi) &0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \Delta t \\ \Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \end{bmatrix}\ .

Les transformations de Lorentz sont présentées alors comme une rotation hyperbolique d'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) \ \phi (la rapidité) dans l'espace-temps de Minkowski.

Présentation sous forme diagonalisée

Avec les définitions et propriétés des fonctions de la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...) hyperbolique, on obtient une présentation un peu différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des...) des transformations de Lorentz :

\begin{cases} c \Delta t'-\Delta x' = e^{\phi}(c \Delta t - \Delta x) \\ c \Delta t'+\Delta x' = e^{- \phi}(c \Delta t + \Delta x) \\ \Delta y' = \Delta y \\ \Delta z' = \Delta z. \end{cases}

sous forme matricielle :  \begin{bmatrix} c \Delta t' - \Delta x'\\ c \Delta t' + \Delta x' \\ \Delta y' \\ \Delta z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{\phi}&0&0&0\\ 0&e^{- \phi}&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \Delta t-\Delta x \\ c \Delta t+\Delta x \\ \Delta y \\ \Delta z \end{bmatrix}\ .

ce qui en est une forme diagonalisée avec des choix de repères dont deux axes forment l'intersection du cône de lumière (La lumière est l'ensemble des ondes électromagnétiques visibles par l'œil...) avec le plan (Oxt), ou (Ox't') pour l'autre repère, et qui sont impossibles à matérialiser dans l'espace physique à trois dimensions.

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