Fractale du mot de Fibonacci - Définition

Introduction

Les trois types de courbes fractales du mot de Fibonacci.

La fractale du mot de Fibonacci est une courbe fractale définie dans le plan à partir du mot de Fibonacci.

Définition

Les premières itérations

Cette courbe se construit itérativement en appliquant au mot de Fibonacci la règle OEDR (Odd-Even Drawing Rule). Pour chaque lettre en position k:

• tracer un segment
• et si "0" alors faire quart de tour:
  • à droite si k est pair
  • à gauche si k est impair

Pour un mot de Fibonacci de longueur F_n, une courbe de F_n segments est ainsi associée. Selon la valeur de n, la courbe se présente sous trois aspects différents: F_3k, F_{3k + 1}. et F_{3k + 2}.

Galerie

Courbe après itérations.	Auto-similarités	Dimensions	Construction par juxtaposition (1)	Construction par juxtaposition (2)
Mode de construction par suppression itérée de carrés.	Mode de construction itérée par des octogones.	Construction itérative à partir de carrés.	Avec un angle de 60°.	Inversion des rôles de "0" et de "1".	Variantes générés à partir du mot dense de Fibonacci.
Variante "compacte"	Variante "svastika"	Variante "diagonale"	Variante "pi/8"	Vue d'artiste (Samuel Monnier).

Propriétés.

Les nombres de Fibonacci dans la fractale

• La courbe F_n, à F_n segments, présente F_{n − 1} angles droits et F_{n − 2} angles plats.
• La courbe ne présente jamais d'auto-intersection, ni de points doubles. A la limite, elle présente une infinité de points asymptotiquement proches.
• La courbe présente des autosimilarités à toutes les échelles. Le facteur de réduction vaut . Ce nombre, appelé également nombre d'argent , est présent dans nombre des propriétés géométriques évoquées ci-dessous.
• Le nombre de copies autosimilaires au degré n est un nombre de Fibonacci - 1 (plus précisément F_{3n + 3} − 1).
• La courbe délimite une infinité de structures carrées de taille décroissante, dans un rapport de .
• Ce nombre de carrés est un nombre de Fibonacci.
• La courbe peut également être construite de diverses manières (voir galerie):
  • Système de fonctions itérées à 4 et 1 homothéties de rapport et
  • Juxtaposition des courbes n-1 et n-2,
  • Système de Lindermayer
  • Par construction itérée de 8 motifs carrés autour de chaque motif carré.
  • Par construction itérée d'octogones.
• La dimension fractale de la courbe vaut , avec , le nombre d'or.
• En généralisant à un angle α quelconque entre 0 et π / 2, sa dimension fractale vaut , avec a = cosα.
• La dimension fractale de sa frontière vaut .
• Interchanger le rôle de "0" et de "1" dans le mot de Fibonacci, ou dans la règle, génère la même courbe, mais orientée à 45°
• A partir du mot de Fibonacci, on peut définir le "mot dense de Fibonacci", sur un alphabet de 3 lettres: 102210221102110211022102211021102110221022102211021... (référencé A143667 dans l'OEIS). L'application, sur ce mot, d'une règle de traçage "naturelle" permet de définir un ensemble infini de variantes de la courbe, parmi lesquelles:
  • la variante "diagonale"
  • la variante "svastika"
  • la variante "compacte"

• On conjecture que le motif de la fractale du mot de Fibonacci se retrouve pour tout mot sturmien dont la séquence directive (donc expansion de la pente en fractions continues) se termine par une suite infinie de "1".