Géométrie projective - Définition

Birapport sur une droite projective

Si , , et sont quatre points distincts d'une droite projective D, il existe un unique isomorphisme de D sur tel que

On appelle birapport de , , , , noté la valeur de .

Si , , et sont quatre points propres distincts de D, on retrouve la définition classique du birapport ou rapport anharmonique :

L'homographie peut s'écrire avec par définition

• (pôle en )
• 
• 

soit encore

• 
• 
• 

En prenant on obtient l'expression :

ce qui donne la conclusion cherchée.

Cette définition du birapport rend aisée la preuve du résultat suivant : les homographies conservent le birapport. Plus précisément :

Dualité

Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie n, son dual E* est aussi un K-espace vectoriel de dimension n. On peut donc associer à l'espace projectif P(E), son dual P(E*). Une droite de P(E*) correspondra à un faisceau d'hyperplans dans P(E). Le passage au dual permet d'inverser un grand nombre de propriétés géométriques.

Topologie

Voir l'article détaillé : Topologie en géométrie projective.

Si E est un espace vectoriel sur ou de dimension finie, on peut définir sur E une topologie issue de la distance induite par la norme dans le cas réel et dans le cas complexe.

Cette topologie permet de définir sur l'espace quotient une topologie, dite topologie quotient. Si désigne l'application de passage au quotient, on dira qu'une partie est ouverte si son image réciproque est ouverte dans . On vérifie que l'on définit bien ainsi un espace topologique

On montre que est compact.

On munira donc l'espace projectif P(E) de cette topologie. Elle permet de parler d'homéomorphisme et de remarquer, par exemple, que la droite projective réelle est homéomorphe à un cercle, la droite projective complexe étant homéomorphe à une sphère (voir l'article sphère de Riemann pour un homéomorphisme explicite).

Utilité

1. La géométrie projective a permis de simplifier grandement des théorèmes de géométrie plane comme le théorème de Pappus ou le théorème de Desargues.
2. Si l'espace projectif, comparé à l'espace usuel, c'est-à-dire l'espace affine, peut sembler être un objet plus compliqué, il est indéniable que pour de nombreuses situations, l'espace projectif est le bon cadre pour travailler. Pour donner un exemple, si C et C' sont deux courbes planes (complexes) de degré respectif d et d' alors, si on voit ces courbes comme des sous-variétés du plan affine, le théorème de Bezout dit que le nombre de points d'intersection entre C et C' est toujours inférieur ou égal à dd'. En revanche, si on voit ces courbes comme des sous-variétés du plan projectif, alors le théorème dit que le nombre de points d'intersection (comptés avec multiplicité) est égal à dd'. Il y a de nombreuses autres situations où les théorèmes s'énoncent sous un forme plus belle en géométrie projective.
3. Enfin, avec le développement de la représentation en 2D d'objets en 3D, la géométrie projective a montré la puissance des outils de dessin assisté par ordinateur qui ont été mis en place.