Groupe de Galois - Définition

Définition

Soit K un corps L une extension algébrique P(X) un polynôme à coefficients dans K, F un sous corps de L et Ω la clôture algébrique de K. Ces notations sont utilisées dans toute la suite de l'article, de plus L est identifiée à un sous-corps de Ω.

• On appelle groupe de Galois de l'extension L sur K le groupe des automorphismes de L laissant invariant K. Le groupe de Galois est souvent noté Gal (L/K).
• On appelle groupe de Galois du polynôme P[X] le groupe de Galois du corps de décomposition de P[X] sur K. Le groupe de Galois est alors souvent noté G_K(P[X]).

Motivation

Motivation originale

Initialement, le groupe de Galois est apparu comme un outil pour comprendre les équations algébriques. L'approche naïve consistant à opérer des changements de variables ou des transformations sur un polynôme ne permet pas de trouver algébriquement les racines.

Pour comprendre dans quel cas une telle démarche fonctionne, une bonne démarche consiste à étudier les permutations des racines qui laissent invariantes toutes les expressions algébriques de ces racines. Une telle structure forme un groupe, isomorphe au groupe de Galois.

La théorie de Galois permet alors de déterminer exactement dans quel cas il est possible d'exprimer les racines en fonctions d'expressions algébriques des coefficients de l'équation et de radicaux. Un radical est un nombre dont une puissance nième est un nombre du corps initial. La structure du groupe de Galois permet cette exacte détermination.

Une telle démarche, consistant à étudier non plus les transformations, mais la structure même de la plus petite extension contenant toutes les racines, appelée corps de décomposition, s'avère puissante. Elle est la base de l'algèbre moderne. Cette approche consiste à étudier de manière générale la structure d'un ensemble particulier, ici le corps de décomposition. Cet ensemble apparaît comme disposant d'une double structure, à la fois de corps et aussi d'espace vectoriel sur le corps des coefficients. Le groupe de Galois est la structure algébrique la plus simple permettant une compréhension profonde.

Les extensions finies

Cette approche générale est féconde pour l'analyse de toute extension finie sur n'importe quel corps de base. Cette analyse s'avère plus simple si l'extension possède de bonnes propriétés. Deux hypothèses sont utiles, l'extension doit être séparable et normale. On parle alors d'extension galoisienne. Il est néanmoins nécessaire de généraliser les concepts. Un groupe devient alors une structure abstraite qui s'éloigne de la notion de permutation. Le groupe de Galois n'est plus défini à l'aide des racines d'un polynôme car l'extension est maintenant définie de manière générale et non plus à partir d'une équation algébrique. Le groupe de Galois apparaît alors comme le groupe des automorphismes de l'extension laissant invariant le corps de base.

Le théorème fondamental de la théorie de Galois établit dans le cas d'une extension galoisienne une correspondance entre les sous-corps de l'extension et les éléments du groupe. Cette correspondance permet la compréhension fine de l'extension.

Le cas général

Le caractère fini de l'extension n'est pas nécessaire pour la définition du groupe de Galois. Dans le cas général, le groupe de Galois reste un outil fondamental. Cependant, la théorie devient suffisamment complexe pour être décomposée.

Le cas où le groupe de Galois est commutatif est maintenant parfaitement connu. La théorie des corps de classes correspond à la classification des extensions abéliennes. Cette théorie est considérée comme l'un des grands succès des mathématiques du XX^e siècle.

Le cas non commutatif est encore largement une question ouverte en mathématique. Le groupe de Galois reste un outil fondamental, comme le montrent par exemple les travaux de Laurent Lafforgue sur le programme de Langlands, qui lui valurent la médaille Fields en 2002.