Introduction
En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, une structure algébrique est un type particulier de structure. Sa spécificité par rapport aux autres types de structure est d'être formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant un certain nombre d'axiomes.
Les structures algébriques peuvent être examinées à l'aide de l'algèbre universelle, qui en exhibe un modèle universel (ou presque). Leurs propriétés communes y sont traitées de manière unifiée, ce qui évite de recommencer leur étude à chaque nouveau type rencontré. Il n'en demeure pas moins utile de dresser une liste des structures algébriques usuelles et de les classer. C'est précisément l'objet de cet article.
Structures algébriques pures
Ces structures ne comportent que des lois de composition.
Structures de base
Elles ne comportent que des lois de composition internes. Les plus importantes sont les structures de groupe, d’anneau et de corps.
Magmas
Ce sont les structures algébriques les plus simples. Elles ne comportent qu’une loi de composition interne.
Attention : les magmas sont parfois appelés groupoïdes, mais ce terme de groupoïde a un autre sens en théorie des catégories.
- Paragroupe : un magma permutatif, commutatif et régulier.
- Exemple : la loi qui associe à deux points leur isobarycentre (ou milieu) forme un paragroupe idempotent dans chaque espace affine.
- Antigroupe : un magma permutatif, régulier et involutif à droite.
- Exemple : l'ensemble des entiers relatifs muni de la soustraction définit un antigroupe.
- Quasigroupe : un magma symogène.
- autre définition : magma respectant le « lemme de réarrangement » :
- Chaque élément du magma apparait une et une seule fois dans chaque ligne et chaque colonne de la table de sa loi.
- (Ainsi, la table de la loi d'un quasigroupe fini est un carré latin).
- Boucle : un quasigroupe unifère, c’est-à-dire possèdant un élément neutre.
- Moufang : une boucle neutroactive.
- Demigroupe : un magma associatif.
- Monoïde : un magma associatif et unifère.
- Semigroupe: un magma associatif, unifère et régulier.
- Exemple : l'ensemble des entiers naturels muni de l'addition forme un semigroupe commutatif.
- Groupe : un monoïde inversible, c’est-à-dire où tout élément possède un inverse; c’est aussi une boucle associative, donc un quasigroupe associatif et unifère.
- La table de sa loi respecte donc le lemme de réarrangement.
- Groupe abélien : un groupe commutatif.
Annélides
Ces structures comportent deux lois de composition internes.
- Pseudo-anneau : un ensemble muni d’une structure de groupe (la loi de composition étant nommée addition) et d’une loi de composition supplémentaire nommée multiplication, la multiplication étant associative et distributive sur l’addition.
- Anneau : un pseudo-anneau dont la loi multiplicative est associative et unifère (c'est donc un monoïde pour la multiplication). Certains auteurs appellent anneau ce que l'on a appelé pseudo-anneau et appellent anneau unitaire ce que l'on a appelé anneau.
- Anneau commutatif : anneau dont la multiplication est commutative.
- Semi-anneau : similaire à un anneau, mais pour l'addition il est un monoïde et pas nécessairement un groupe.
- Anneau intègre: un anneau commutatif non nul et sans diviseur de zéro, c’est-à-dire que tout élément non nul de l'anneau est régulier pour la multiplication.
- Corps : un anneau où l’élément neutre de l’addition n’est pas celui de la multiplication et où tout élément non nul a un inverse multiplicatif. À cause de l’influence anglaise (voir ci-dessous), un corps est souvent considéré comme implicitement commutatif, alors que dans la tradition française, il ne l'est pas nécessairement. Pour éviter toute ambiguïté, il vaut mieux indiquer :
- - « corps commutatif » pour un corps effectivement commutatif,
- - et « corps commutatif ou non », ou « corps quelconque », pour un corps non nécessairement commutatif.
- Corps commutatif, corps non commutatif : dans la tradition française un « corps » n’est pas nécessairement commutatif ; en anglais, un corps commutatif est appelé field, et un corps non commutatif division ring. Un glissement de sens tend à aligner la terminologie française sur la terminologie anglaise et à qualifier les corps non commutatifs d' « anneaux à (ou de) division » et les corps commutatifs de « corps » tout court. Cette dernière appellation est à éviter car elle amène désormais une ambiguïté : le « corps » considéré est-il commutatif ou quelconque ?
Structures à opérateurs externes
Ces structures peuvent être considérées d’un point de vue algébrique ou géométrique.
Algébriquement, une structure externe est un ensemble muni d’une loi de composition externe sur une structure de base, et éventuellement d’une ou plusieurs lois de composition interne.
Géométriquement, c’est un ensemble E sur lequel agit un ensemble-opérateur S, encore appelé ensemble des opérateurs ou scalaires. Pour cela, l'ensemble E est muni d’une action, c’est-à-dire d’une application de S dans EE (ensemble des transformations de E, c'est-à-dire des applications de E dans E).
La correspondance entre les actions et les lois externes est bijective; c’est pourquoi les lois externes sont souvent appelées lois d’action.
Espaces homogènes
Ces structures ne comportent qu'une seule loi, qui est externe, un exemple est :
- Espace homogène : ensemble sur lequel un groupe G opère transitivement,
Moduloïdes
Structures possédant à la fois une loi de composition interne et une loi de composition externe.
- Groupe à opérateurs (dans un ensemble) : groupe muni d’une loi externe sur un ensemble d’opérateurs, distributive par rapport à la loi du groupe
- Module sur un anneau, on distingue les modules à gauche et à droite sur un anneau non commutatif.
- Espace vectoriel (sur un corps) : module sur un corps K, on doit distinguer également les espaces vectoriels à gauche et à droite si le corps n'est pas commutatif.
- Espace affine (sur un corps) : espace homogène d'un espace vectoriel sur un corps K. Si la caractéristique de K est différente de 2, il existe une définition des espaces affines sur ce corps indépendante de la notion d'espace vectoriel. Un espace affine est alors un ensemble muni de deux lois :
-
- l'une, interne, pour laquelle il est un paragroupe (dans le cas d'un espace affine euclidien, il s'agit de la loi milieu, qui à deux points, associe leur milieu géométrique);
- l'autre, externe, qui vérifie des propriétés analogues à celles de la loi externe d'un module (dans le cas d'un espace affine euclidien, cette loi externe, qui dépend du choix d'un point arbitraire O, associe à un point P et un scalaire x le résultat de l'application à P de l'homothétie affine de rapport x et d'origine O).
Algèbres
Structures possédant deux lois internes et une loi externe.
- Algèbre (sur un anneau commutatif) : un module (ou un espace vectoriel) muni en plus d’une loi de composition interne bilinéaire.
- Algèbre associative : une algèbre dont la multiplication est associative.
- Algèbre commutative : une algèbre dont la multiplication est commutative.
- Algèbre associative unitaire : algèbre associative ayant un élément neutre pour la multiplication.
- Algèbre de Lie : un type particulier d’algèbre généralement non associative, importante dans l'étude des groupes de Lie.
- Algèbre de Jordan : un type particulier d’algèbre généralement non associative.
Bialgèbres
Structures possédant deux lois internes, une loi externe, et une loi "duale" de l'une des deux lois internes.