Groupe de Galois - Définition

Applications

Si les groupes de Galois sont historiquement apparus à travers la théorie des équations algébriques, la puissance de ce concept a rapidement dépassé ce cadre.

Équations algébriques

Une équation algébrique est une équation qui s'écrit avec les quatre opérations +, -, . et /. Il est possible d'y ajouter les radicaux, c’est-à-dire des expressions correspondant à la racine nième d'un nombre. Toute équation de cette nature revient à une équation polynomiale. Si, dans les cas les plus fréquents, c’est-à-dire celui des réels ou complexes, la problématique de l'existence et du nombre de solutions est résolue, en revanche celui de la résolution explicite est restée longtemps une question ouverte. Certaines méthodes analytiques, comme celle de Newton par une suite convergente, ou celle d'Abel par des fonctions elliptiques apportent des solutions à cette question. Il reste néanmoins à trouver une méthode purement algébrique pour une telle question.

Dans les cas de polynômes de degré inférieur à cinq, cette question se résout par des changements de variables bien choisies. Dans le cas général une telle approche n'est pas satisfaisante. En effet, il n'existe pas de solution dans le cas général. Le groupe de Galois permet de fournir une condition nécessaire et suffisante, ainsi qu'une méthode explicite de résolution. Cette question est traitée par le théorème d'Abel.

Théorie des corps

L'approche d'une équation algébrique par son groupe de Galois met en évidence la structure du corps K associé à l'équation. L'étude des corps est donc totalement liée à celle des groupes de Galois. C'est la raison pour laquelle la théorie des corps s'appelle la théorie de Galois.

Comme souvent en mathématiques, un outil puissant d'analyse de la structure de K consiste en l'étude de l'ensemble des sous-corps. Il en existe toujours un, celui engendré par l'unité pour la multiplication. Dans le cas ou K est de caractéristique nulle, alors le corps peut être considéré comme une extension des nombres rationnels. Dans le cas contraire, la caractéristique est égal à p, un nombre premier, et K peut être considéré comme une extension de Z/pZ. C'est la raison pour laquelle en théorie de Galois, il est peu question de sous-corps, mais essentiellement d'extensions. Un sous-corps est en effet considéré comme une extension du corps engendrée par l'unité et inclus dans le corps K.

Le théorème fondamental de la théorie de Galois indique qu'il existe une bijection entre le groupe de Galois et les extensions. C'est la raison pour laquelle les groupes de Galois sont un outil essentiel dans la théorie des corps.

Théorie algébrique des nombres

En théorie des nombres, il existe une classification, nombres entiers, rationnels, constructibles, algébriques et transcendants. Un nombre est dit algébrique s'il est solution d'une équation algébrique. En conséquence, il est naturel que le groupe de Galois soit dans ce contexte un outil essentiel.

Un exemple est donné par les nombres constructibles. En termes de théorie de Galois, ces nombres apparaissent comme élément d'une tour d'extension quadratique. Le groupe de Galois associé à cette extension est abélien, ce qui permet de démontrer le théorème de Gauss-Wantzel et de trouver tous les polygones réguliers constructibles. Cette approche permet de même de démontrer de vieilles conjectures comme l'impossibilité dans le cas général de réaliser la trisection de l'angle ou la duplication du cube.

Par ailleurs, dans le cadre d'une extension galoisienne, la ramification admet en un certain sens une interprétation galoisienne : les groupes de ramifications, dont le groupe de décomposition et le groupe d'inertie, sont des sous-groupes du groupe de Galois, qui correspondent via la correspondance de Galois à des sous-extensions ayant des propriétés de décomposition maximale, ou de ramification minimale.

Une question importante est celle de l'étude du groupe de Galois absolu d'un corps, en particulier du corps des rationnels, c'est-à-dire du groupe de Galois de sa clôture séparable.

Géométrie algébrique

Enfin, en géométrie, une classe importante de variétés est constituée par les variétés algébriques. Ce sont les variétés définies comme une intersection d'un nombre fini de polynômes à plusieurs variables. L'analyse des corps associées à ces polynômes et donc des groupes de Galois est une voie essentielle pour la compréhension de ces géométries.

La correspondance de Galois qui à chaque extension associe un élément du groupe de Galois, devient alors une correspondance entre les éléments du groupe et des classes de revêtements d'une variété algébrique.